Подтемы:
- Неравенства для элементов треугольника. (373 задачи)
- Неравенство треугольника (289 задач)
- Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон (12 задач)
- Неравенства с площадями (78 задач)
- Площадь. Одна фигура лежит внутри другой (31 задача)
- Неравенства с углами (13 задач)
- Ломаные внутри квадрата (10 задач)
- Четырехугольник (неравенства) (40 задач)
- Многоугольники (неравенства) (24 задачи)
- Геометрические неравенства (прочее) (35 задач)
Фильтр
Выбрано 19 задач Убрать все задачи
Биллиард имеет форму выпуклого четырехугольника ABCD. Из точки K стороны AB выпустили биллиардный шар, который отразился в точках L, M, N от сторон BC, CD, DA, возвратился в точку K и вновь вышел на траекторию KLMN. Докажите, что четырехугольник ABCD можно вписать в окружность.
Докажите, что шесть ребер любого тетраэдра можно разбить на три пары (a,b), (c,d), (e,f) так, чтобы из отрезков длин a+b, c+d, e+f можно было составить треугольник.
Какую минимальную сумму цифр может иметь натуральное число, делящееся на 99?
Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.
Верно ли, что изменив одну цифру в десятичной записи любого натурального числа, можно получить простое число?
Существует ли треугольник со сторонами a = 7 и b = 2, если известно, что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?
Может ли фигура иметь более одного, но конечное число центров симметрии?
В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна c и ∠B = α. Найдите все медианы этого треугольника.
В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника.
На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что существует неостроугольный треугольник с вершинами в этих точках.
В треугольнике $ABC$ отношение медианы $AM$ к стороне $BC$ равно $\sqrt{3}:2$. На сторонах $ABC$ отмечены точки, делящие каждую сторону на 3 равные части. Докажите, что какие-то 4 из этих 6 отмеченных точек лежат на одной окружности.
Докажите, что площадь треугольника ABC не превосходит
AB . AC.
Около трапеции KLMN описана окружность, причём основание KN является её диаметром. Известно, что KN = 4, LM = 2. Хорда MT пересекает диаметр KN в точке S, причём KS : SN = 1 : 3. Найдите площадь треугольника STN.
Выпуклый многоугольник имеет центр симметрии. Докажите, что сумма его углов делится на 360°.
Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A1, то AB = BA1). Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.
В окружность радиуса 2 вписана трапеция ABCD, причём её
основание AD является диаметром, а угол BAD равен
60o.
Хорда CE пересекает диаметр AD в точке P, причём
AP : PD = 1 : 3. Найдите площадь треугольника BPE.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом $30$ градусов одна биссектриса в два раза короче другой.
Определите вид треугольника (относительно его углов), если даны три стороны (или их отношения):
1) 2, 3, 4;
2) 3, 4, 5;
3) 4, 5, 6;
4) 10, 15, 18;
5) 68, 119, 170.
Докажите, что если треугольник ABC лежит внутри
треугольника A'B'C', то
rABC < rA'B'C'.
Задачи Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 836]
Задача 57417 |
|
|
Две высоты треугольника больше 1. Докажите, что его
площадь больше 1/2.
|
|
Решение |
Задача 57497 |
|
|
Через точку O пересечения медиан треугольника ABC
проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите,
что
NO 2MO.
|
|
|
Решение |
Задача 57498 |
|
|
Докажите, что если треугольник ABC лежит внутри
треугольника A'B'C', то
rABC < rA'B'C'.
|
|
Решение |
Задача 78511 |
|
|
В треугольнике ABC высоты, опущенные на стороны AB и BC, не меньше этих сторон соответственно. Найти углы треугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 107699 |
|
|
Петя купил "Конструктор", в котором было 100 палочек разной длины. В инструкции к "Конструктору" написано, что из любых трёх палочек "Конструктора" можно составить треугольник. Петя решил проверить это утверждение, составляя из палочек треугольники. Палочки лежат в конструкторе по возрастанию длин. Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) надо сделать Пете, чтобы доказать или опровергнуть утверждение инструкции?
|
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 836]
