Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 79]

Задача 57801

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Найдите уравнение окружности девяти точек в трилинейных координатах.

Прислать комментарий Решение

Задача 57802

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

а) Докажите, что в трилинейных координатах любая окружность задается уравнением вида

(px + qy + rz)(x sin $\displaystyle \alpha$ + y sin $\displaystyle \beta$ + z sin $\displaystyle \gamma$ ) = yz sin $\displaystyle \alpha$ + xz sin $\displaystyle \beta$ + xy sin $\displaystyle \gamma$ .

б) Докажите, что радикальная ось двух окружностей, заданных уравнениями такого вида, задается уравнением

p₁x + q₁y + r₁z = p₂x + q₂y + r₂z.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57803

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Докажите, что касательная к вписанной окружности в точке (x₀ : y₀ : z₀) задается уравнением

$\displaystyle {\frac{x}{\sqrt{x_0}}}$ cos $\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$ + $\displaystyle {\frac{y}{\sqrt{y_0}}}$ cos $\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$ + $\displaystyle {\frac{z}{\sqrt{z_0}}}$ cos $\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$ = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110795

Темы:	[	Теорема о группировке масс	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Авторы: Ганин Я., Rideau F.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD . A' , B' , C' , D' – ортоцентры треугольников BCD , CDA , DAB , ABC . Докажите, что в четырехугольниках ABCD и A'B'C'D' соответствующие диагонали делятся точками пересечения в одном и том же отношении.

Прислать комментарий Решение

Задача 57789

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

На прямых AB, BC, CA даны точки C₁ и C₂, A₁ и A₂, B₁ и B₂. Точки C₁ и C₂ определяют числа $\gamma_{1}^{}$ и $\gamma_{2}^{}$ , для которых (1 + $\gamma_{1}^{}$ ) $\overrightarrow{AC_1}$ = $\overrightarrow{AB}$ и (1 + $\gamma_{2}^{}$ ) $\overrightarrow{C_2B}$ = $\overrightarrow{AB}$ ; числа $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , $\beta_{1}^{}$ , $\beta_{2}^{}$ определяются аналогично. Докажите, что прямые A₂B₁, B₂C₁ и C₂A₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ $\displaystyle \beta_{1}^{}$ $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ $\displaystyle \beta_{2}^{}$ $\displaystyle \gamma_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{1}^{}$ $\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ $\displaystyle \gamma_{2}^{}$ = 1.

Замечание. При $\alpha_{2}^{}$ = $\beta_{2}^{}$ = $\gamma_{2}^{}$ = 0 точки A₂, B₂, C₂ совпадают с B, C, A; в этом случае получаем теорему Чевы. При $\alpha_{1}^{}$ $\alpha_{2}^{}$ = $\beta_{1}^{}$ $\beta_{2}^{}$ = $\gamma_{1}^{}$ $\gamma_{2}^{}$ = 1 совпадают точки A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂. (Действительно, совпадение точек A₁ и A₂ эквивалентно тому, что ${\frac{1}{\alpha_1}}$ + ${\frac{1}{\alpha_2}}$ = 1; это равенство эквивалентно равенству $\alpha_{1}^{}$ $\alpha_{2}^{}$ = 1.) Прямые A₁B₁, B₁C₁ и C₁A₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда они совпадают. В этом случае получаем теорему Менелая.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 79]