Пусть α , β , γ и δ  — градусные меры углов некоторого выпуклого четырехугольника. Всегда ли из этих четырех чисел можно выбрать три числа так, чтобы они выражали длины сторон некоторого треугольника (например, в метрах)?

   Решение

Докажите, что высота неравнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, меньше половины гипотенузы.

   Решение

Дан треугольник ABC. Окружность радиуса R касается прямых AB и BC в точках A и C и пересекает медиану BD в точке L, причём  BL = ⁵/₉ BD.
Найдите площадь треугольника.

   Решение

Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, кратное на 11?

   Решение

В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника.

   Решение

Сумма углов n-угольника. Докажите, что произвольный n-угольник (не обязательно выпуклый) можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями. Выведите отсюда, что сумма углов в произвольном n-угольнике равна (n - 2).

   Решение

Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая высота.

   Решение

Найдите сумму внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине.

   Решение

Пусть a, b, c, d – различные цифры. Докажите, что  cdcdcdcd  не делится на  aabb.

   Решение

Решите уравнение x^x4 = 4 (x > 0).

   Решение

При каких x и y число  xxyy  является квадратом натурального числа?

   Решение

Пусть M — центр масс n-угольника A₁...A_n; M₁,..., M_n — центры масс (n - 1)-угольников, полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин A₁,..., A_n соответственно. Докажите, что многоугольники A₁...A_n и  M₁...M_n гомотетичны.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.

Прислать комментарий

Решение

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M; P — произвольная точка. Прямая l_a проходит через точку A параллельно прямой PA₁; прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что:
а) прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке Q;
б) точка M лежит на отрезке PQ, причем PM : MQ = 1 : 2.

Прислать комментарий

Решение

Окружность S касается равных сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что середина отрезка PK является центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Пусть R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что R2r, причем равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Пусть M — центр масс n-угольника A₁...A_n; M₁,..., M_n — центры масс (n - 1)-угольников, полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин A₁,..., A_n соответственно. Докажите, что многоугольники A₁...A_n и  M₁...M_n гомотетичны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]