В окружность вписаны две равнобедренные трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции.

   Решение

В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M, а биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке N. Площадь четырёхугольника, образованного пересечением биссектрис AM и CN с отрезками BN и DM, равна . Найдите углы параллелограмма ABCD, если AB = 3, AD = 5.

   Решение

Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре треугольника. Докажите, что четыре окружности, описанные около этих треугольников, имеют одну общую точку.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      

Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре треугольника. Докажите, что четыре окружности, описанные около этих треугольников, имеют одну общую точку.

Прислать комментарий

Решение

Параллелограмм ABCD отличен от ромба. Прямые, симметричные прямым AB и CD относительно диагоналей AC и DB соответственно, пересекаются в точке Q. Докажите, что Q — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AO в отрезок OD, где O — центр параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что ABC A₁B₁C₁. Пары отрезков BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁, AA₁ и BB₁ пересекаются в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC₂, BCA₂, CAB₂, A₁B₁C₂, B₁C₁A₂ и C₁A₁B₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Дана окружность с центром в начале координат.
Докажите, что найдётся окружность меньшего радиуса, на которой лежит не меньше точек с целыми координатами.

Прислать комментарий

Решение

На катетах прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вовне построили квадраты ACKL и BCMN; CE – высота треугольника. Докажите, что угол LEM прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]