На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков, причем расстояние между любыми двумя закрашенными точками не равно 0, 1. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков не превосходит 0, 5.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 69]      

На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков, причем расстояние между любыми двумя закрашенными точками не равно 0, 1. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков не превосходит 0, 5.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC и точки P и Q. Известно, что треугольники, образованные проекциями P и Q на стороны ABC, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая PQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D . Окружность, описанная около треугольника BCD , пересекает сторону AC в точке M , а окружность, описанная около треугольника ACD , пересекает сторону BC в точке N (точки M и N отличны от точки C ). Пусть O – центр описанной окружности треугольника CMN . Докажите, что прямая OD перпендикулярна стороне AB .

Прислать комментарий

Решение

Проекции точки X на стороны четырёхугольника ABCD лежат на одной окружности. Y – точка, симметричная X относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки B на прямые AX, XC, CY, YA также лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны два таких конечных набора P₁ и P₂ выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов P₁ и P₂ есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 69]