Ссылки по теме:
Статья В. Уроева "Инверсия"
Материалы по этой теме:
Подтемы:
Статья В. Уроева "Инверсия"
Материалы по этой теме:
Подтемы:
-
Свойства инверсии
(31 задача)
Построение окружностей
(13 задач)
Теорема Мора-Маскерони
(5 задач)
Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
(7 задач)
Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха
(7 задач)
Инверсия помогает решить задачу
(81 задача)
Инверсия (прочее)
(3 задачи)
Фильтр
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB . CD + BC . AD
AC . BD (неравенство Птолемея).
б) Докажите, что если A1, A2, ...A6 — произвольные точки плоскости, то
в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A1...A6 — вписанный шестиугольник.
Решение
Убрать все задачи
Вокруг правильного семиугольника описали окружность и вписали в него окружность. То же проделали с правильным 17-угольником. В результате каждый из многоугольников оказался расположенным в своем круговом кольце. Оказалось, что площади этих колец одинаковы. Докажите, что стороны многоугольников одинаковы.
Решениеа) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB . CD + BC . AD
б) Докажите, что если A1, A2, ...A6 — произвольные точки плоскости, то
в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A1...A6 — вписанный шестиугольник.
Решение
Задачи
Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 117]
В треугольнике $ABC$ точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены. Прямая $PQ$ пересекает окружность $ABC$ в точке $X$. Прямая, симметричная $BC$ относительно $PQ$, пересекает прямую $AX$ в точке $E$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $E$ лежат на одной окружности.
В треугольнике $ABC$ $\angle A=60^{\circ}$; $AD$, $BE$ и $CF$ – биссектрисы; $P$, $Q$ – проекции $A$ на $EF$ и $BC$; $R$ – вторая точка пересечения окружности $DEF$ с прямой $AD$. Докажите, что $P$, $Q$, $R$ лежат на одной прямой.
На плоскости отметили несколько точек и раскрасили их в четыре цвета так, что никакие три разноцветные точки не лежат на одной прямой и на любой окружности, проходящей через точки трех разных цветов, лежит еще ровно одна отмеченная точка, окрашенная в четвертый цвет. Обязательно ли все отмеченные точки лежат на одной окружности?
а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то
AB . CD + BC . ADAC . BD (неравенство Птолемея).
б) Докажите, что если A1, A2, ...A6 — произвольные точки плоскости, то
в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A1...A6 — вписанный шестиугольник.
Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 117]
Задача 67373 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67380 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67556 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 116284 |
|
|
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD являются соответственно хордами окружностей ω1 и ω2, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг AB и CD равны α и β. Окружности ω3 и ω4 также имеют хорды AB и CD соответственно. Их дуги AB и CD, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω3 и ω4 тоже касаются.
|
|
|
Решение |
Задача 58396[Неравенство Птолемея] |
|
|
б) Докажите, что если A1, A2, ...A6 — произвольные точки плоскости, то
в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A1...A6 — вписанный шестиугольник.
|
|
|
Решение |
Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 117]
