В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите, что 2AM(b + c)cos(/2).

   Решение

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

   Решение

По положительным числам х и у вычисляют  а = ¹/_y  и  b = y + ¹/_x.  После этого находят С – наименьшее число из трёх: x, a и b.
Какое наибольшее значение может принимать C?

   Решение

Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C.
Найдите геометрическое место таких точек M, что радиусы описанных окружностей треугольников AMB и CMB равны.

   Решение

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃. Докажите, что если описанные окружности треугольников A₁A₂B₃, A₁B₂A₃ и B₁A₂A₃ проходят через одну точку, то и описанные окружности треугольников B₁B₂A₃, B₁A₂B₃ и A₁B₂B₃ пересекаются в одной точке.

   Решение

Сфера радиуса R делит каждое из рёбер SA , SC , AB и BC треугольной пирамиды SABC на три равные части и проходит через середины рёбер AC и SB . Найдите высоту пирамиды, опущенную из вершины S .

   Решение

Докажите, что если плоскости  и  пересекаются, то центральное проектирование  на  с центром O задает взаимно однозначное отображение плоскости  с выкинутой прямой l₁ на плоскость  с выкинутой прямой l₂, где l₁ и l₂ — прямые пересечения плоскостей  и  соответственно с плоскостями, проходящими через O и параллельными  и . При этом на l₁ отображение не определено.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

Проекцией точки A из точки O на плоскость P называется точка A', в которой прямая OA пересекает плоскость P. Проекцией треугольника называется фигура, состоящая из всех проекций его точек. Какими фигурами может быть проекция треугольника, если точка O не лежит в его плоскости?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если плоскости  и  пересекаются, то центральное проектирование  на  с центром O задает взаимно однозначное отображение плоскости  с выкинутой прямой l₁ на плоскость  с выкинутой прямой l₂, где l₁ и l₂ — прямые пересечения плоскостей  и  соответственно с плоскостями, проходящими через O и параллельными  и . При этом на l₁ отображение не определено.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при центральном проектировании прямая, не являющаяся исключительной, проецируется в прямую.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если наряду с обычными точками и прямыми рассматривать бесконечно удаленные, то
а) через любые две точки проходит единственная прямая;
б) любые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются в единственной точке;
в) центральное проектирование одной плоскости на другую является взаимно однозначным отображением.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что проективное преобразование P плоскости, переводящее бесконечно удаленную прямую в бесконечно удаленную прямую, является аффинным.
б) Докажите, что если точки A, B, C, D лежат па прямой, параллельной исключительной прямой проективного преобразования P плоскости , то P(A)P(B) : P(C)P(D) = AB : CD.
в) Докажите, что если проективное преобразование P переводит параллельные прямые l₁ и l₂ в параллельные прямые, то либо P аффинно, либо его исключительная прямая параллельна прямым l₁ и l₂.
г) Пусть P — взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости, которое каждую прямую переводит в прямую. Докажите, что P проективно.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]