Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Треугольник имеет площадь, равную 1.
Докажите, что длина его средней по длине стороны не меньше, чем
.
К окружности, вписанной в квадрат со стороной a, проведена касательная, пересекающая две его стороны. Найдите периметр отсечённого треугольника.
На сторонах произвольного треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники с углами 2α, 2β и 2γ при вершинах A', B' и C', причём α + β + γ = 180°. Докажите, что углы треугольника A'B'C' равны α, β и γ.
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) на высоте BD как на диаметре построена окружность. К окружности проведены касательные AM и CN, продолжения которых пересекаются в точке O. Найдите отношение AB/AC, если OM/AC = k и высота BD больше основания AC.
Докажите, что меньшая диагональ параллелограмма выходит из тупого угла.
В треугольнике ABC прямая m касается вписанной окружности ω. Прямые, проходящие через центр I окружности ω и перпендикулярные AI, BI, CI, пересекают прямую m в точках A', B', C' соответственно. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.
Имеется три кучки камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет?
Два гроссмейстера по очереди ставят на шахматную доску ладьи (за один ход – одну ладью) так, чтобы они не били друг друга. Тот, кто не сможет поставить ладью, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре – первый или второй гроссмейстер?
Даны точки A, B, C, D, никакие три из которых
не лежат на одной прямой, и точки A1, B1, C1, D1,
удовлетворяющие тому же условию.
а) Докажите, что существует проективное преобразование,
переводящее точки A, B, C, D соответственно в точки A1,
B1, C1, D1.
б) Докажите, что преобразование задачи а) единственно,
т. е. проективное преобразование плоскости определяется
образами четырех точек в общем положении (ср. с задачей 30.4).
в) Докажите утверждение задачи а), если точки A, B, C
лежат на одной прямой l, а точки A1, B1, C1 —
на одной прямой l1.
г) Единственно ли преобразование задачи в)?
Дана окружность S и точка O внутри ее. Рассмотрим все проективные
преобразования, которые S отображают в окружность, а O — в ее
центр. Докажите, что все такие преобразования отображают на
бесконечность одну и ту же прямую.
На плоскости дана окружность и не пересекающая
ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование,
переводящее данную окружность в окружность,
а данную прямую — в бесконечно удаленную прямую.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]
Задача 58423 |
|
|
Даны точки A, B, C, D, никакие три из которых
не лежат на одной прямой, и точки A1, B1, C1, D1,
удовлетворяющие тому же условию.
а) Докажите, что существует проективное преобразование,
переводящее точки A, B, C, D соответственно в точки A1,
B1, C1, D1.
б) Докажите, что преобразование задачи а) единственно,
т. е. проективное преобразование плоскости определяется
образами четырех точек в общем положении (ср. с задачей 30.4).
в) Докажите утверждение задачи а), если точки A, B, C
лежат на одной прямой l, а точки A1, B1, C1 —
на одной прямой l1.
г) Единственно ли преобразование задачи в)?
|
|
Решение |
Задача 58424 |
|
|
а) Докажите, что существует проективное преобразование, которое
данную окружность переводит в окружность, а данную точку, лежащую
внутри окружности, переводит в центр образа.
б) Докажите, что если проективное преобразование переводит данную
окружность в окружность, а точку M — в ее центр, то исключительная
прямая перпендикулярна диаметру, проходящему через M.
|
|
Решение |
Задача 58425 |
|
|
На плоскости дана окружность и не пересекающая
ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование,
переводящее данную окружность в окружность,
а данную прямую — в бесконечно удаленную прямую.
|
|
|
Решение |
Задача 58426 |
|
|
Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную
окружность переводит в окружность, а данную хорду — в ее диаметр.
|
|
|
Решение |
Задача 58427 |
|
|
Дана окружность S и точка O внутри ее. Рассмотрим все проективные
преобразования, которые S отображают в окружность, а O — в ее
центр. Докажите, что все такие преобразования отображают на
бесконечность одну и ту же прямую.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]
