Сходимость итерационного процесса. Предположим, что функция f (x) отображает отрезок [a;b] в себя, и на этом отрезке | f'(x)| q < 1. Докажите, что уравнение f (x) = x имеет на отрезке [a;b] единственный корень x*. Докажите, что при решении этого уравнения методом итераций будут выполняться неравенства:

| x_{n + 1} - x_n| | x₁ - x₀| ^. qⁿ,    | x* - x_n| | x₁ - x₀| ^. .

   Решение

Найти последнюю цифру числа  7¹⁹⁸⁸ + 9¹⁹⁸⁸.

   Решение

Доказать, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны h₁, h₂, h₃, то объём тетраэдра не меньше, чем h₁h₂h₃/3.

   Решение

В угол вписаны три окружности $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$ (радиус $\Gamma_1$ наименьший, а радиус $\Gamma_3$ наибольший), притом $\Gamma_2$ касается $\Gamma_1$ и $\Gamma_3$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $l$ – касательная в точке $A$ к $\Gamma_1$. Рассмотрим все окружности $\omega$, касающиеся $\Gamma_1$ и $l$. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внутренних касательных к парам окружностей $\omega$ и $\Gamma_3$.

   Решение

Внутри квадрата со стороной 1 расположено n² точек. Докажите, что существует ломаная, содержащая все эти точки, длина которой не превосходит 2n.

   Решение

Проекцией точки A из точки O на плоскость P называется точка A', в которой прямая OA пересекает плоскость P. Проекцией треугольника называется фигура, состоящая из всех проекций его точек. Какими фигурами может быть проекция треугольника, если точка O не лежит в его плоскости?

   Решение

Точки P , Q , R и S расположены в пространстве так, что середины отрезков SQ и PR лежат на сфере радиуса a , а отрезки PS , PQ , QR и SR делятся сферой на три части в отношении 1:2:1 каждый. Найдите расстояние от точки P до прямой QR .

   Решение

Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

   Решение

Циркулем и линейкой проведите через данную точку прямую, на которой три данные прямые высекают равные отрезки.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

Даны окружность, прямая и точки A, A', B, B', C, C', M, лежащие на этой прямой. Согласно задачам 30.1 и 30.3 существует единственное проективное преобразование данной прямой на себя, отображающее точки A, B, C соответственно в A', B', C'. Обозначим это преобразование через P. Постройте при помощи одной линейки а) точку P(M); б) неподвижные точки отображения P (задача Штейнера).

Прислать комментарий

Решение

Даны две прямые l₁ и l₂ и две точки A и B, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой l₁ такую точку X, чтобы прямые AX и BX высекали на прямой l₂ отрезок, а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам в данной точке E прямой l₂.

Прислать комментарий

Решение

Точки A и B лежат на прямых a и b соответственно, а точка P не лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем и линейкой проведите через P прямую, пересекающую прямые a и b в точках X и Y соответственно таких, что длины отрезков AX и BY имеют а) данное отношение; б) данное произведение.

Прислать комментарий

Решение

Циркулем и линейкой проведите через данную точку прямую, на которой три данные прямые высекают равные отрезки.

Прислать комментарий

Решение

Даны окружность S и две хорды AB и CD. Циркулем и линейкой постройте на окружности такую точку X, чтобы прямые AX и BX высекали на CD отрезок а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам в данной точке E хорды CD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]