Страница:
<< 157 158 159 160
161 162 163 >> [Всего задач: 1032]
Вписанная окружность касается сторон AC и BC
треугольника ABC в точках B1 и A1 соответственно.
Докажите, что если AC > BC, то
AA1 > BB1.
Круг поделили хордой AB на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки A. При этом повороте точка B перешла в точку D (см. рис.).
Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка BD, перпендикулярны друг другу.
На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов,
равны, а угол между ними равен α.
а) На окружности фиксированы точки
A и
B, а
точки
A1 и
B1 движутся по той же окружности так, что величина
дуги
A1B1 остается постоянной;
M — точка пересечения
прямых
AA1 и
BB1. Найдите ГМТ
M.
б) В окружность вписаны треугольники
ABC и
A1B1C1,
причем треугольник
ABC неподвижен, а треугольник
A1B1C1
вращается. Докажите, что прямые
AA1,
BB1 и
CC1 пересекаются
в одной точке не более чем при одном положении треугольника
A1B1C1.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Пусть a и b – натуральные взаимно простые числа. Рассмотрим точки плоскости с целыми координатами (x, y), лежащие в полосе 0 ≤ x ≤ b – 1. Каждой такой точке припишем целое число N(x, y) = ax + by.
а) Докажите, что для каждого натурального c существует ровно одна точка (x, y) (0 ≤ x ≤ b – 1), для которой N(x, y) = c.
б) Теорема Сильвестра. Докажите, что наибольшее c, для которого уравнение ax + by = c не имеет решений в целых неотрицательных числах, имеет вид
c = ab – a – b.
Страница:
<< 157 158 159 160
161 162 163 >> [Всего задач: 1032]
Фильтр
Решение 
