Каталог по темам

Задачи

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 275]

Задача 60507

Темы:	[	Алгоритм Евклида	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что при m ≠ n выполняются равенства:
а) (a^m – 1, aⁿ – 1) = a^{(m, n)} – 1 (a > 1);
б) (f_n, f_m) = 1, где f_k = 2^{2^k} + 1 – числа Ферма.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60520

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Докажите, что если (a₁, a₂, ..., a_n) = 1, то уравнение a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = 1 разрешимо в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60777

Темы:	[	Функция Эйлера	]
Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите равенства:
а) φ(m) φ(n) = φ((m, n)) φ([m, n]);
б) φ(mn) φ((m, n)) = φ(m) φ(n) (m, n).
Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60833

Темы:	[	Обыкновенные дроби	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Предположим, что числа m₁, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что любую правильную дробь вида можно представить в виде алгебраической суммы правильных дробей вида ^n_i/_{m_i} (i = 1, ..., n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60888

Темы:	[	Периодические и непериодические дроби	]
Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Обозначим через L(m) длину периода дроби ¹/_m. Докажите, что если (m₁, 10) = 1 и (m₂, 10) = 1, то справедливо равенство L(m₁m₂) = [L(m₁), L(m₂)].
Чему равна длина периода дроби ¹/_m₁ + ¹/_m₂?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 275]