Каталог по темам

Выбрано 11 задач

На плоскости даны две окружности одна внутри другой. Построить такую точку O, что одна окружность получается из другой гомотетией относительно точки O (другими словами – чтобы растяжение плоскости от точки O с некоторым коэффициентом переводило одну окружность в другую).

Решение

Длины сторон треугольника ABC не превышают 1.
Докажите, что p(1 – 2Rr) ≥ 1, где p – полупериметр, R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Решение

Из всех выпуклых многоугольников, у которых одна сторона равна a и сумма внешних углов при вершинах, не прилегающих к этой стороне, равна 120^o, выбрать многоугольник наибольшей площади.

Решение

Авторы: Карпов Д.В., Карасев Р.

В стране N 1998 городов, и из каждого осуществляются беспосадочные перелеты в три других города (все авиарейсы двусторонние). Известно, что из каждого города, сделав несколько пересадок, можно долететь до любого другого. Министерство Безопасности хочет объявить закрытыми 200 городов, никакие два из которых не соединены авиалинией. Докажите, что это можно сделать так, чтобы можно было долететь из каждого незакрытого города в любой другой, не делая пересадок в закрытых городах.

Решение

Внутренняя точка A шара радиуса r соединена с поверхностью шара тремя отрезками прямых, имеющими длину l и проведёнными под углом α друг к другу. Найдите расстояние точки A от центра шара.

Решение

Вершины треугольника соединены с центром вписанной окружности. Проведёнными отрезками площадь треугольника разделилась на три части, равные 28, 60 и 80. Найдите стороны треугольника.

Решение

Правильный 2n-угольник M₁ со стороной a лежит внутри правильного 2n-угольника M₂ со стороной 2a. Докажите, что многоугольник M₁ содержит центр многоугольника M₂.

Решение

Внутри выпуклого многоугольника A₁...A_n взята точка O. Пусть $\alpha_{k}^{}$ — величина угла при вершине A_k, x_k = OA_k, d_k — расстояние от точки O до прямой A_kA_{k + 1}. Докажите, что $\sum$ x_ksin( $\alpha_{k}^{}$ /2) $\geq$ $\sum$ d_k и $\sum$ x_kcos( $\alpha_{k}^{}$ /2) $\geq$ p, где p — полупериметр многоугольника.

Решение

Докажите, что если стороны пятиугольника в порядке обхода равны 4, 6, 8, 7 и 9, то его стороны не могут касаться одной окружности.

Решение

Все считали, что Дракон был однооким, двуухим, треххвостым, четырехлапым и пятииглым. На самом деле, только четыре из этих определений выстраиваются в определенную закономерность, а одно — лишнее. Какое?

Решение

Натуральные числа m₁, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что число x = (m₂...m_n)^φ(m₁) является решением системы
x ≡ 1 (mod m₁),
x ≡ 0 (mod m₂),
...
x ≡ 0 (mod m_n).

Решение

Задача 60782

Задача 60787

Задача 60823

Задача 60877

Задача 60785