Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом α . Найдите объём призмы, если её большая диагональ равна l и образует с плоскостью основания угол β .
Правильный пятиугольник и правильный двадцатиугольник вписаны в одну и ту же окружность.
Что больше: сумма квадратов длин всех сторон пятиугольника или сумма квадратов длин всех сторон двадцатиугольника?
F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке [0, 1]. Известно, что область её значений принадлежит отрезку [0, 1]. Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна 1/n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)
Человек имеет 10 друзей и в течение нескольких дней приглашает некоторых из них в гости так, что компания ни разу не повторяется (в какой-то из дней он может не приглашать никого). Сколько дней он может так делать?
Докажите, что нечётное число, являющееся произведением n различных простых сомножителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно 2n–1 различными способами.
Дан ромб ABCD с тупым углом при вершине A. На продолжении стороны
AD за точку D взята точка K. Отрезки BK и CD пересекаются в точке L.
Найдите площадь треугольника ABK, если BL = 2, KL = 5, а высота ромба равна 1.
Точка D лежит на основании BC равнобедренного треугольника ABC, а точки M и K – на его боковых сторонах AB и AC соответственно, причём AMDK – параллелограмм. Прямые MK и BC пересекаются в точке L. Перпендикуляр к BC, восставленный из точки D, пересекает прямые AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что окружность с центром L, проходящая через D, касается описанной окружности треугольника AXY.
В трапеции ABCD биссектриса тупого угла B пересекает основание AD в точке K – его середине, M – середина BC, AB = BC.
Найдите отношение KM : BD.
Обозначим через S(m) сумму цифр натурального числа m. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что S(3n) ≥ S(3n+1).
Докажите, что количество положительных корней многочлена f(x) = anxn + ... + a1x + a0 не превосходит числа перемен знака в последовательности an, ..., a1, a0.
Задачи Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 63]
Задача 98268 |
|
|
а) Разбейте отрезок [0, 1] на чёрные и белые отрезки
так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам.
(Приращением многочлена p по отрезку (a, b) называется число p(b) – p(a).)
б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?
|
|
Решение |
Задача 110024 |
|
|
Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа a1, a2, ..., a10, что уравнение
(x – a1)(x – a2)...(x – a10) = (x + a1)(x + a2)...(x + a10) будет иметь ровно пять различных действительных корней.
|
|
|
Решение |
Задача 65692 |
|
|
Про приведённый многочлен P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном
m ≥ 2 многочлен имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен P(x) имеет действительные корни, причём только положительные?
|
|
|
Решение |
Задача 60985[Правило знаков Декарта] |
|
|
Докажите, что количество положительных корней многочлена f(x) = anxn + ... + a1x + a0 не превосходит числа перемен знака в последовательности an, ..., a1, a0.
|
|
Решение |
Задача 116766 |
|
|
Изначально на доске были написаны одночленs 1, x, x², ..., xn. Договорившись заранее, k мальчиков каждую минуту одновременно вычисляли каждый сумму каких-то двух многочленов, написанных на доске, и результат дописывали на доску. Через m минут на доске были написаны, среди прочих, многочлены S1 = 1 + x, S2 = 1 + x + x², S3 = 1 + x + x² + x3, ..., Sn = 1 + x + x² + ... + xn. Докажите, что
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 63]
