Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На окружности $\omega$ зафиксирована точка $A$. Хорды $BC$ окружности $\omega$ выбираются так, что проходят через фиксированную точку $P$. Докажите, что окружности 9 точек треугольников $ABC$ касаются фиксированной окружности, не зависящей от выбора $BC$.

Вниз   Решение


Архитектор хочет расположить семь высотных зданий так, чтобы, гуляя по городу, можно было увидеть их шпили в любом (циклическом) порядке.
Удастся ли это ему?

ВверхВниз   Решение


Найдите углы ромба, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

ВверхВниз   Решение


ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. O - центр описанной окружности четырехугольника ABCD. P - точка пересечения диагоналей.
Найдите сумму квадратов диагоналей, если известны длина отрезка OP и радиус окружности R.

ВверхВниз   Решение


Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

ВверхВниз   Решение


В четырехугольнике $ABCD$ $\angle B=\angle D$ и $AD=CD$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $AC$, $BD$, $AE$ и $CF$ лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c  (AB = c,  BC = a,  CA = b  и  a < b < c).  На лучах BC и AC отмечены соответственно такие точки B1 и A1, что  BB1 = AA1 = c.  На лучах CA и BA отмечены соответственно такие точки C2 и B2, что  CC2 = BB2 = a.  Найти  A1B1 : C2B2.

ВверхВниз   Решение


На экране компьютера сгенерирована некоторая конечная последовательность нулей и единиц. С ней можно производить следующую операцию: набор цифр "01" заменять на набор цифр "1000". Может ли такой процесс замен продолжаться бесконечно или когда-нибудь он обязательно прекратится?

ВверхВниз   Решение


Две стороны треугольника равны 2$ \sqrt{2}$ и 3, площадь треугольника равна 3. Найдите третью сторону.

ВверхВниз   Решение


Дана прямоугольная трапеция, основания которой равны a и b (a < b). Известно, что некоторая прямая, параллельная основаниям, рассекает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите радиусы этих окружностей.

ВверхВниз   Решение


Решите уравнения:
 а)  z4 = 4;   б)  z² + |z| = 0;   в)  z² + = 0;   г)  z² + |z|² = 0;   д)  (z + i)4 = (z – i)4;   е)  z³ – = 0.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 118]      



Задача 61094

Тема:   [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Решите уравнение  x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61107

Тема:   [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите равенство  

Прислать комментарий     Решение

Задача 61112

Тема:   [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Решите уравнения:
 а)  z4 = 4;   б)  z² + |z| = 0;   в)  z² + = 0;   г)  z² + |z|² = 0;   д)  (z + i)4 = (z – i)4;   е)  z³ – = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61113

Тема:   [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть многочлен с действительными коэффициентами f(x) имеет корень  a + ib.  Докажите, что число  a – ib  также будет корнем f(x).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61133

Темы:   [ Геометрия комплексной плоскости ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть z1, z2, ..., zn – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек  z = λ1z1 + λ2z2 + ... + λnzn,  где λ1, λ2, ..., λn – такие действительные положительные числа, что  λ1 + λ2 + ... + λn = 1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 118]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .