Каталог по темам

Задачи

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 151]

Задача 61322

[Арифметико-геометрическое среднее]

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Рекуррентные соотношения	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Лемма о вложенных отрезках	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, причём a < b. Построим по этим числам две последовательности {a_n} и {b_n} по правилам:

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается μ(a, b).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61323

[Арифметико-гармоническое среднее]

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Лемма о вложенных отрезках	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, и a < b. Определим две последовательности чисел {a_n} и {b_n} формулами:

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a и b.
б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.
в) Пусть a = 1, b = k. Как последовательность {b_n} связана с последовательностью {x_n} из задачи 61299?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79347

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Последовательность натуральных чисел {x_n} строится по следующему правилу: x₁ = 2, ..., x_n = [1,5x_n–1].
Доказать, что последовательность y_n = (–1)^x_n непериодическая.

Прислать комментарий Решение

Задача 60554

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что число p входит в разложение n! с показателем, не превосходящим

Прислать комментарий

Решение

Задача 98027

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Фольклор

Плоскость разбита тремя сериями параллельных прямых на равные между собой равносторонние треугольники.
Существуют ли четыре вершины этих треугольников, образующие квадрат?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 151]