Каталог по темам

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 76]

Задача 61337

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Производная и касательная	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Последовательность чисел x₀, x₁, x₂,...задается условиями

x₀ = 1, x_{n + 1} = a^x_n (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Найдите наибольшее число a, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого a?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61486

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть (1 + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ )ⁿ = p_n + q_n $\sqrt{2}$ + r_n $\sqrt{3}$ + s_n $\sqrt{6}$ (n $\geqslant$ 0). Найдите:

а) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{q_n}}$ ; б) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{r_n}}$ ; в) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{s_n}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 97976

Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Гальперин В.

Рассматривается последовательность слов, состоящих из букв "A" и "B". Первое слово в последовательности – "A", k-е слово получается из (k–1)-го с помощью следующей операции: каждое "A" заменяется на "AAB", каждое "B" – на "A". Легко видеть, что каждое слово является началом следующего, тем самым получается бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABAAAB...
а) На каком месте в этой последовательности встретится 1000-я буква "A"?
б) Докажите, что эта последовательность – непериодическая.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61338

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Последовательность чисел a₁, a₂, a₃,...задается условиями

a₁ = 1, a_{n + 1} = a_n + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что
а) эта последовательность неограничена;
б) a₉₀₀₀ > 30;
в) найдите предел $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ ${\dfrac{a_n}{\sqrt[3]n}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 67188

Темы:	[	Троичная система счисления	]
	[	Числовые последовательности (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Бутырин Б.

Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ и при $n > 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$, что среди чисел $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023} \leqslant 100\,000$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 76]