Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 76]

Задача 66741

Темы:	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^{n+1} + b^{n+1}$ делится на $a^n+b^n$ для бесконечного множества различных натуральных $n$. Обязательно ли тогда $a = b$?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98510

Темы:	[	Средние величины	]
Темы:	[	Ограниченность, монотонность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Рыбников И.Г.

В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61302

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Старый калькулятор I. а) Предположим, что мы хотим найти $\sqrt[3]{x}$ (x > 0) на калькуляторе, который кроме четырех обычных арифметических действий умеет находить $\sqrt{x}$ . Рассмотрим следующий алгоритм. Строится последовательность чисел {y_n}, в которой y₀ — произвольное положительное число, например, y₀ = $\sqrt{\sqrt{x}}$ , а остальные элементы определяются соотношением

y_{n + 1} = $\displaystyle \sqrt{\sqrt{x\,y_n}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$ y_n = $\displaystyle \sqrt[3]{x}$ .

б) Постройте аналогичный алгоритм для вычисления корня пятой степени.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61328

Темы:	[	Итерации	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Метод Ньютона. Для приближенного нахождения корней уравнения f (x) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле

x_{n + 1} = x_n - $\displaystyle {\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}$ ,

(начальное условие x₀ следует выбирать поближе к искомому корню).
Докажите, что для функции f (x) = x² - k и начального условия x₀ > 0 итерационный процесс всегда будет сходиться к $\sqrt{k}$ , то есть $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ x_n = $\sqrt{k}$ .
Как будет выражаться x_{n + 1} через x_n? Сравните результат с формулой из задачи 9.48.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73828

Темы:	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Дан треугольник C₁C₂O. В нём проводится биссектриса C₂C₃, затем в треугольнике C₂C₃O – биссектриса C₃C₄ и так далее.
Докажите, что последовательность величин углов γ_n = C_n+1C_nO стремится к пределу, и найдите этот предел, если C₁OC₂ = α.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 76]