Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Алгебраические неравенства и системы неравенств
>>
Классические неравенства
>>
Неравенство Коши
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
Точка O лежит на отрезке AB, причём AO = 13, OB = 7. С центром в точке O проведена окружность радиуса 5. Из A и B к ней проведены касательные, пересекающиеся в точке M, причём точки касания лежат по одну сторону от прямой AB. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника AMB.
Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произведение не изменилось. Приведите пример таких чисел.
Пусть M и N — середины сторон CD и DE правильного
шестиугольника ABCDEF, P — точка пересечения отрезков AM
и BN.
а) Найдите величину угла между прямыми AM и BN.
б) Докажите, что
SABP = SMDNP.
Числовая последовательность A1, A2, ..., An, ... определена равенствами A1 = 1, A2 = – 1, An = – An–1 – 2An–2 (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число является полным квадратом.
Из имеющихся последовательностей {bn} и {cn} (возможно, {bn} совпадает с {cn}) разрешается получать последовательности
{bn + cn},
{bn – cn}, {bncn} и {bn/cn} (если все члены последовательности {cn} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {an}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
а) an = n²;
б)
в)
Делится ли 222555 + 555222 на 7?
В классе 30 учеников. Докажите, что вероятность того, что у каких-нибудь двух учеников совпадают дни рождения, составляет больше 50%.
Используя результат задачи 61403, докажите неравенства:
а) ≤
неравенство Коши);
б)
в) где b1 + ... + bn = 1.
Значения переменных считаются положительными.
Задачи Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 200]
Задача 34893 |
|
|
Докажите, что пересечение трёх прямых круговых цилиндров с радиусами 1, оси которых попарно взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), содержится в некотором шаре радиуса
|
|
Решение |
Задача 55231 |
|
|
Пусть h1, h2, h3 – высоты треугольника, r – радиус вписанной окружности. Докажите, что h1 + h2 + h3 ≥ 9r.
|
|
|
Решение |
Задача 61367 |
|
|
Докажите неравенство xαyβ ≤ αx + βy для положительных значений переменных при условии, что α + β = 1 (α, β > 0).
|
|
|
Решение |
Задача 61389 |
|
|
Докажите неравенство (1 + x1)...(1 + xn) ≥ 2n, где x1...xn = 1.
Значения переменных считаются положительными.
|
|
|
Решение |
Задача 61404 |
|
|
Используя результат задачи 61403, докажите неравенства:
а) ≤
неравенство Коши);
б)
в) где b1 + ... + bn = 1.
Значения переменных считаются положительными.
|
|
Решение |
Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 200]
