Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть  x₀ = 10⁹,  x_n = .  Доказать, что  0 < x₃₆ – < 10^–9.

   Решение

---

Найдите все натуральные числа x, удовлетворяющие условиям: произведение цифр числа x равно  44x – 86868,  а сумма цифр является кубом натурального числа.

   Решение

---

Доказать, что  (1 + ⅓)(1 + ⅛)(1 + ¹/₁₅)...(1 + ¹/_n²+2n) < 2  при любом натуральном n.

   Решение

---

Пусть  α = (α₁, ..., α_n)  и  β = (β₁, ..., β_n)  – два набора показателей с равной суммой.
Докажите, что, если  α ≠ β,  то при всех неотрицательных  x₁, ..., x_n  выполняется неравенство  T_α(x₁, ..., x_n) ≥ T_β(x₁, ..., x_n).
Определение многочленов T_α смотри в задаче 61417, определение сравнения для показателей можно найти в справочнике.

   Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61413

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Классические неравенства ] [ Неравенство Иенсена ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Докажите, что если  α < β  и  αβ ≠ 0,   то  S_α(x) ≤ S_β(x).
Определение средних степенных S_α(x) можно посмотреть в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61414

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Предел функции ] [ Неравенство Иенсена ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Докажите, что если  α < 0 < β,  то   S_α(x) ≤ S₀(x) ≤ S_β(x),  причём  
Определение средних степенных S_α(x) можно посмотреть в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61424  [Неравенство Мюрхеда]

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Симметрические многочлены ] [ Отношение порядка ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Пусть  α = (α₁, ..., α_n)  и  β = (β₁, ..., β_n)  – два набора показателей с равной суммой.
Докажите, что, если  α ≠ β,  то при всех неотрицательных  x₁, ..., x_n  выполняется неравенство  T_α(x₁, ..., x_n) ≥ T_β(x₁, ..., x_n).
Определение многочленов T_α смотри в задаче 61417, определение сравнения для показателей можно найти в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109199

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Неравенство Иенсена ] [ Выпуклость и вогнутость (прочее) ] [ Теоремы о среднем значении ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Положительные числа х₁, ..., х_k удовлетворяют неравенствам  
  а) Докажите, что  k > 50.
  б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь k.
  в) Найти минимальное k, для которого пример возможен.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60304

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Докажите неравенство для натуральных  n > 1:  

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями