Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Последовательности >> Суммы числовых последовательностей и ряды разностей
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Авторы: Демин Д., Кухарчук И.

На окружности $\omega$ зафиксирована точка $A$. Хорды $BC$ окружности $\omega$ выбираются так, что проходят через фиксированную точку $P$. Докажите, что окружности 9 точек треугольников $ABC$ касаются фиксированной окружности, не зависящей от выбора $BC$.

Вниз   Решение

Архитектор хочет расположить семь высотных зданий так, чтобы, гуляя по городу, можно было увидеть их шпили в любом (циклическом) порядке.
Удастся ли это ему?

ВверхВниз   Решение

Найдите углы ромба, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

ВверхВниз   Решение

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. O - центр описанной окружности четырехугольника ABCD. P - точка пересечения диагоналей.
Найдите сумму квадратов диагоналей, если известны длина отрезка OP и радиус окружности R.

ВверхВниз   Решение

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

ВверхВниз   Решение

Автор: Бельский К.

В четырехугольнике $ABCD$ $\angle B=\angle D$ и $AD=CD$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $AC$, $BD$, $AE$ и $CF$ лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение

Автор: Женодаров Р.Г.

Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c  (AB = c,  BC = a,  CA = b  и  a < b < c).  На лучах BC и AC отмечены соответственно такие точки B1 и A1, что  BB1 = AA1 = c.  На лучах CA и BA отмечены соответственно такие точки C2 и B2, что  CC2 = BB2 = a.  Найти  A1B1 : C2B2.

ВверхВниз   Решение

На экране компьютера сгенерирована некоторая конечная последовательность нулей и единиц. С ней можно производить следующую операцию: набор цифр "01" заменять на набор цифр "1000". Может ли такой процесс замен продолжаться бесконечно или когда-нибудь он обязательно прекратится?

ВверхВниз   Решение

Две стороны треугольника равны 2$ \sqrt{2}$ и 3, площадь треугольника равна 3. Найдите третью сторону.

ВверхВниз   Решение

Дана прямоугольная трапеция, основания которой равны a и b (a < b). Известно, что некоторая прямая, параллельная основаниям, рассекает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите радиусы этих окружностей.

ВверхВниз   Решение

Решите уравнения:
 а)  z4 = 4;   б)  z² + |z| = 0;   в)  z² + = 0;   г)  z² + |z|² = 0;   д)  (z + i)4 = (z – i)4;   е)  z³ – = 0.

ВверхВниз   Решение

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Периметр параллелограмма равен 12, а разность периметров треугольников BOC и COD равна 2. Найдите стороны параллелограмма.

ВверхВниз   Решение

Преобразование Абеля. Для подсчета интегралов используется формула интегрирования по частям. Докажите следующие две формулы, которые являются дискретным аналогом интегрирования по частям и называются преобразованием Абеля:

$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$f (x)g(x) = f (n)$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$g(x) - $\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$($\displaystyle \Delta$f (x)$\displaystyle \sum\limits_{z=0}^{x}$g(z)),
$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$f (x)$\displaystyle \Delta$g(x) = f (n)g(n) - f (0)g(0) - $\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$g(x + 1)$\displaystyle \Delta$f (x).


Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 138]      

  с решениями  

Задача 61431

Тема:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Выведите формулу для суммы 13 + 23 + 33 +...+ n3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111341

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Богданов И.И.

Все целые числа от -33 до 100 включительно расставили в некотором порядке и рассмотрели суммы каждых двух соседних чисел. Оказалось, что среди них нет нулей. Тогда для каждой такой суммы нашли число, ей обратное. Полученные числа сложили. Могло ли в результате получится целое число?
Прислать комментарий     Решение

Задача 109569

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Женодаров Р.Г.

Докажите тождество

+ +..+ = = + +..+ .

Прислать комментарий     Решение

Задача 61435

Тема:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите формулу

$\displaystyle \Delta^{n}_{}$f (x) = $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$Cnk(- 1)n - kf (x + k).


Прислать комментарий     Решение

Задача 61444

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Интегрирование по частям ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Преобразование Абеля. Для подсчета интегралов используется формула интегрирования по частям. Докажите следующие две формулы, которые являются дискретным аналогом интегрирования по частям и называются преобразованием Абеля:

$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$f (x)g(x) = f (n)$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$g(x) - $\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$($\displaystyle \Delta$f (x)$\displaystyle \sum\limits_{z=0}^{x}$g(z)),
$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$f (x)$\displaystyle \Delta$g(x) = f (n)g(n) - f (0)g(0) - $\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$g(x + 1)$\displaystyle \Delta$f (x).


Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 138]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .