Каталог по темам

Задачи

Страница: << 86 87 88 89 90 91 92 >> [Всего задач: 829]

Задача 53888

Темы:	[	Две пары подобных треугольников	]
Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

На стороне AB параллелограмма ABCD расположена точка K, на продолжении стороны CD за точку D – точка L. Прямые KD и BL пересекаются в точке N, а прямые LA и CK – в точке M. Докажите, что MN || AD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56934

[Прямая Симсона]

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Прямая Симсона	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64347

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Ломаные	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Фольклор

На плоскости проведены n прямых, среди которых нет параллельных. Никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что существует такая n-звенная несамопересекающаяся ломаная A₀A₁A₂...A_n, что на каждой из n прямых лежит ровно по одному звену этой ломаной.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64465

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Швецов Д.В.

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Вписанная окружность треугольника ACC' касается сторон AB и AC в точках C₁, B₁; Вписанная окружность треугольника BCC', касается сторон AB и BC в точках C₂, A₂. Докажите, что прямые B₁C₁, A₂C₂ и CC' пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64860

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Garsia E.H.

Вписанная окружность разностороннего треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Окружность с диаметром BC' пересекает вписанную окружность вторично в точке A₁, а биссектрису угла B вторично в точке A₂. Окружность с диаметром AC' пересекает вписанную окружность вторично в точке B₁, а биссектрису угла A вторично в точке B₂. Докажите, что прямые AB, A₁B₁, A₂B₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 86 87 88 89 90 91 92 >> [Всего задач: 829]