Версия для печати
Убрать все задачи
Дан неравнобедренный треугольник ABC. Точка O – центр его описанной окружности, а точка K – центр описанной окружности ω треугольника BCO. Высота треугольника ABC, проведенная из точки A, пересекает окружность ω в точке P. Прямая PK пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках E и F. Докажите, что один из отрезков EP и FP равен отрезку PA.
Решение
Шестью одинаковыми параллелограммами площади 1 оклеили кубик с ребром 1. Можно ли утверждать, что все параллелограммы — квадраты? Можно ли утверждать, что все они — прямоугольники?
Решение
Треугольник
ABC вписан в окружность. Точка
D — середина дуги
AC, точки
K и
L выбраны на сторонах
AB и
CB соответственно так, что
KL параллельна
AC. Пусть
K' и
L' — точки пересечения прямых
DK и
DL соответственно с окружностью. Докажите, что вокруг четырехугольника
KLL'
K' можно описать окружность.
Решение
Дан треугольник ABC. Пусть I – центр его вписанной окружности, и пусть X, Y, Z – центры вписанных окружностей треугольников AIB, BIC и AIC соответственно. Оказалось, что центр вписанной окружности треугольника XYZ совпадает с I. Обязательно ли тогда треугольник ABC равносторонний?
Решение
Найдите все значения a, для которых найдутся такие x, y и z, что числа cos x, cos y и cos z попарно различны и образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, при этом числа cos(x + a), cos(y + a) и cos(z + a) также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.
Решение
Фильтр
