На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника A₁B₁C₁D₁E₁ (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.

   Решение

Из произвольной точки основания равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной a, проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося четырёхугольника.

   Решение

При помощи формулы Лежандра (см. задачу 60553) докажите, что число      целое.

   Решение

Внутри треугольника ABC взята точка O. На лучах OA, OB и OC построены векторы единичной длины.
Доказать, что сумма этих векторов имеет длину, меньшую единицы.

   Решение

Проекции двух точек на стороны четырёхугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырёхугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]      

Пусть $\gamma_A$, $\gamma_B$, $\gamma_C$ – вневписанные окружности треугольника $ABC$, касающиеся сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Обозначим через $l_A$ общую внешнюю касательную окружностей $\gamma_B$ и $\gamma_C$, отличную от $BC$. Аналогично определим $l_B$, $l_C$. Из точки $P$, лежащей на $l_A$, проведем отличную от $l_A$ касательную к $\gamma_B$ и найдем точку $X$ ее пересечения с $l_C$. Аналогично найдем точку $Y$ пересечения касательной из $P$ к $\gamma_C$ с $l_B$. Докажите, что прямая $XY$ касается $\gamma_A$.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число , называемое простым отношением трех комплексных чисел, вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число : , называемое двойным отношением четырех комплексных чисел, вещественно.

Прислать комментарий

Решение

Проекции двух точек на стороны четырёхугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырёхугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

Постройте треугольник по вершине A, центру O описанной окружности и точке Лемуана L.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]