Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Четыре точки окружности следуют в порядке: A, B, C, D. Продолжение хорды AB за точку B и хорды CD за точку C пересекаются в точке E, причём угол AED равен 60o. Угол ABD в три раза больше угла BAC. Докажите, что AD — диаметр окружности.

Вниз   Решение


Автор: Фольклор

На бесконечной во все стороны шахматной доске выделено некоторое множество клеток A. На всех клетках доски, кроме множества A, стоят короли. Все короли могут по команде одновременно сделать ход, заключающийся в том, что король либо остаётся на месте, либо занимает соседнее поле, то есть делает "ход короля". При этом он может занять и то поле, с которого сходит другой король, но в результате хода двум королям оказаться в одной клетке запрещается. Существует ли такое k и такой способ движения королей, что после k ходов вся доска будет заполнена королями? Рассмотрите варианты:
  а) A есть множество всех клеток, у которых обе координаты кратны 100 (предполагается, что одна горизонтальная и одна вертикальная линии занумерованы всеми целыми числами от минус бесконечности до бесконечности и каждая клетка доски обозначается двумя числами – координатами по этим двум осям);
  б) A есть множество всех клеток, каждая из которых бьётся хотя бы одним из 100 ферзей, расположенных каким-то фиксированным образом.

ВверхВниз   Решение


В некоторой стране есть столица и еще 100 городов. Некоторые города (в том числе и столица) соединены дорогами с односторонним движением. Из каждого нестоличного города выходит 20 дорог, и в каждый такой город входит 21 дорога. Докажите, что в столицу нельзя проехать ни из одного города.

ВверхВниз   Решение


В выпуклом четырёхугольнике ABCD  ∠A = ∠В = 60°  и  ∠СAВ = ∠CBD.  Докажите, что  AD + CB = AB.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 352]      



Задача 64829

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  ∠A = ∠В = 60°  и  ∠СAВ = ∠CBD.  Докажите, что  AD + CB = AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65053

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Удвоение медианы ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Точка К – середина гипотенузы АВ прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точки L и М выбраны на катетах ВС и АС соответственно так, что  BL = СМ.  Докажите, что треугольник LMK – также прямоугольный равнобедренный.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65065

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнены соотношения  AB = BD,  ∠ABD = ∠DBC.  На диагонали BD нашлась такая точка K, что  BK = BC.
Докажите, что  ∠KAD = ∠KCD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65108

Темы:   [ Текстовые задачи (прочее) ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8

Смешарики живут на берегах пруда в форме равностороннего треугольника со стороной 600 м. Крош и Бараш живут на одном берегу в 300 м друг от друга. Летом Лосяшу до Кроша идти 900 м, Барашу до Нюши – тоже 900 м. Докажите, что зимой, когда пруд замёрзнет и можно будет ходить прямо по льду, Лосяшу до Кроша снова будет идти столько же метров, сколько Барашу до Нюши.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65314

Темы:   [ Непрерывное распределение ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Митя собирается согнуть квадратный лист бумаги ABCD. Митя называет сгиб красивым, если сторона AB пересекает сторону CD и четыре получившихся прямоугольных треугольника равны. Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку F. Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку F.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 352]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .