- Книги, журналы, Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел, глава 11. Последовательности и ряды
- Книги, журналы, Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел, глава 11. Последовательности и ряды, параграф 4. Многочлены Гаусса
Подтемы:
- Прогрессии (192 задачи)
- Рекуррентные соотношения (233 задачи)
- Ряд Фарея (1 задача)
- Периодичность и непериодичность (102 задачи)
- Суммы числовых последовательностей и ряды разностей (138 задач)
- Последовательности (прочее) (81 задача)
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Мальвина записала равенство МА·ТЕ·МА·ТИ·КА = 2016000 и предложила Буратино заменить одинаковые буквы одинаковыми цифрами, разные буквы – разными цифрами, чтобы равенство стало верным. Есть ли у Буратино шанс выполнить задание?
После экспериментов с мнимой единицей, Коля Васин занялся комплексной экспонентой. Пользуясь формулами задачи 61115, он смог доказать, что sin x всегда равен нулю, а cos x – единице:
Ромб ABCD и параллелограмм BCFE с углом
BCF = 120o
расположены так, что точка E лежит на отрезке AD, а точка F — на
продолжении стороны AD за точку D. Площадь четырёхугольника BCDE
составляет
площади ромба. Найдите углы ромба.
Дан треугольник $ABC$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ берутся на его описанной окружности так, что $A_1B_1\parallel AB$, $A_1A_2\parallel BC$, $B_1B_2\parallel AC$. Прямые $AA_2$ и $CA_1$ пересекаются в точке $A'$, а прямые $BB_2$ и $CB_1$ – в точке $B'$. Докажите, что все прямые $A'B'$ проходят через одну точку.
Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если σ(m) – m = n и σ(n) – n = m.
Докажите, что если все три числа p = 3·2k–1 – 1, q = 3·2k – 1 и r = 9·22k–1 – 1 – простые, то числа m = 2kpq и n = 2kr – дружественные. Постройте примеры дружественных чисел.
Дан ромб ABCD. Окружность радиуса R касается прямых AB и AD в точках B и D соответственно и пересекает сторону BC в точке L, причём 4BL = BC. Найдите площадь ромба.
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки
K и N соответственно. M – середина стороны AC .
Известно, что BKM =
BNM . Докажите, что
перпендикуляры к сторонам исходного треугольника в точках
K , N и M пересекаются в одной точке.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD заключены две окружности одинакового радиуса r, касающиеся друг друга внешним образом. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину A с серединой F стороны CD, а центр второй окружности находится на отрезке, соединяющем вершину C с серединой E стороны AB. Первая окружность касается сторон AB, AD и CD, а вторая окружность касается сторон AB, BC и CD. Найдите AC.
Вычислите:
Существуют ли такие две функции с наименьшими положительными периодами 2 и 6, что их сумма имеет наименьший положительный период 3?
Задачи Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 696]
Задача 61467 |
|
|
Докажите, что произвольная последовательность Qn, заданная условиями
|
|
Решение |
Задача 64348 |
|
|
По кругу расставлено 2n действительных чисел, сумма которых положительна. Для каждого из них рассмотрим обе группы из n подряд стоящих чисел, в которых это число является крайним. Докажите, что найдётся число, для которого сумма чисел в каждой из двух таких групп положительна.
|
|
|
Решение |
Задача 64720 |
|
|
Найдите все значения a, для которых найдутся такие x, y и z, что числа cos x, cos y и cos z попарно различны и образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, при этом числа cos(x + a), cos(y + a) и cos(z + a) также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.
|
|
|
Решение |
Задача 64897 |
|
|
Существуют ли такие две функции с наименьшими положительными периодами 2 и 6, что их сумма имеет наименьший положительный период 3?
|
|
Решение |
Задача 65193 |
|
|
По кругу в некотором порядке расставлены все натуральные числа от 1 до 1000 таким образом, что каждое из чисел является делителем суммы двух своих соседей. Известно, что рядом с числом k стоят два нечётных числа. Какой чётности может быть число k?
|
|
|
Решение |
Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 696]
