Каталог по темам

Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 109]

Задача 52460

[Теорема о бабочке]

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от AB). Отрезок KN пересекает AB в точке P. Отрезок LM пересекает AB в точке Q. Докажите, что PC = QC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64977

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Биссектрисы его углов образуют четырёхугольник, вписанный в окружность с центром I, а биссектрисы внешних углов – четырёхугольник, вписанный в окружность с центром J. Докажите, что O – середина отрезка IJ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115900

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Белухов Н.

Дан правильный 17-угольник A₁... A₁₇. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A₁A₄, A₂A₁₀, A₁₃A₁₄ и A₂A₃, A₄A₆, A₁₄A₁₅, равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64967

Темы:	[	Построения (прочее)	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Голенищева-Кутузова Т.И.

Петя вырезал из бумаги прямоугольник, положил на него такой же прямоугольник и склеил их по периметру. В верхнем прямоугольнике он провёл диагональ, опустил на неё перпендикуляры из двух оставшихся вершин, разрезал верхний прямоугольник по этим линиям и отогнул полученные треугольники во внешнюю сторону, так что вместе с нижним прямоугольником они образовали прямоугольник.
Как по полученному прямоугольнику восстановить исходный с помощью циркуля и линейки?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64968

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Авторы: Мякишев А.Г., Мавло Д.

Около треугольника ABC описали окружность. A₁ – точка пересечения с нею прямой, параллельной BC и проходящей через A. Точки B₁ и C₁ определяются аналогично. Из точек A₁, B₁, C₁ опустили перпендикуляры на BC, CA, AB соответственно. Докажите, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 109]