Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]

Задача 64985

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Теорема Паскаля	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Мокин В.

На стороне AB треугольника ABC взята точка D. В угол ADC вписана окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника ACD, а в угол BDC – окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника BCD. Оказалось, что эти окружности касаются отрезка CD в одной и той же точке X. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из X на AB, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64742

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Теорема Паскаля	]
	[	Формула Эйлера	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Пусть O, I – центры описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника; R, r – радиусы этих окружностей; J – точка, симметричная вершине прямого угла относительно I. Найдите OJ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67109

Темы:	[	Сфера, вписанная в пирамиду	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Шестиугольники	]
	[	Теорема Паскаля	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Смирнов Олег

Пусть $OABCDEF$ – шестигранная пирамида с основанием $ABCDEF$, описанная около сферы $\omega$. Плоскость, проходящая через точки касания $\omega$ с гранями $OFA$, $OAB$ и $ABCDEF$, пересекает ребро $OA$ в точке $A_1$; аналогично определяются точки $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$ и $F_1$. Пусть $\ell$, $m$ и $n$ – прямые $A_1D_1$, $B_1E_1$ и $C_1F_1$ соответственно. Оказалось, что $\ell$ и $m$ лежат в одной плоскости, $m$ и $n$ также лежат в одной плоскости. Докажите, что $\ell$ и $n$ лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий Решение

Задача 65648

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
	[	Теорема Паскаля	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Нилов Ф.

Дан правильный семиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇. Прямые A₂A₃ и A₅A₆ пересекаются в точке X, а прямые A₃A₅ и A₁A₆ – в точке Y.
Докажите, что прямые A₁A₂ и XY параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115775

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Теорема Паскаля	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Дан прямоугольник ABCD и точка P. Прямые, проходящие через A и B и перпендикулярные, соответственно, PC и PD, пересекаются в точке Q.
Докажите, что PQ ⊥ AB.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]