Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Биссектрисы его углов образуют четырёхугольник, вписанный в окружность с центром I, а биссектрисы внешних углов – четырёхугольник, вписанный в окружность с центром J. Докажите, что O – середина отрезка IJ.

   Решение

---

Найдите число прямоугольников, составленных из клеток доски с m горизонталями и n вертикалями, которые содержат клетку с координатами  (p, q).

   Решение

---

Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС. Обозначим через А₁, В₁ и С₁ точки пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно со сторонами ВС, СА и АВ. Упорядочим площади треугольников АВ₁С₁, А₁ВС₁, А₁В₁С, обозначив меньшую через S₁, среднюю – S₂, а большую – S₃. Докажите, что     где S – площадь треугольника А₁В₁С₁.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 57]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109031

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Доказать, что площадь прямоугольника, вписанного в треугольник, не превосходит половины площади этого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115354

Темы:   [ Неравенства с объемами ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD . Докажите, что для любой точки O внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров OSAB и OSCD равна сумме объёмов тетраэдров OSBC и OSDA .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115389

Темы:   [ Неравенства с объемами ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Касающиеся сферы ] [ Шар и его части ] [ Объем шара, сегмента и проч. ] [ Взвешивания ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

На левую чашу весов положили два шара радиусов 3 и 5, а на правую — один шар радиуса 8. Какая из чаш перевесит? (Все шары изготовлены целиком из одного и того же материала.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64319  [Неравенство Птолемея]

Темы:   [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ] [ Теорема Птолемея ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D, не лежащих в одной плоскости, выполнено неравенство  AB·CD + AC·BD > AD·BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65935

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Центр масс ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС. Обозначим через А₁, В₁ и С₁ точки пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно со сторонами ВС, СА и АВ. Упорядочим площади треугольников АВ₁С₁, А₁ВС₁, А₁В₁С, обозначив меньшую через S₁, среднюю – S₂, а большую – S₃. Докажите, что     где S – площадь треугольника А₁В₁С₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 57]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями