Дан неравнобедренный треугольник ABC, AA₁ – его биссектриса, A₂ – точка касания вписанной окружности со стороной BC. Аналогично определяются точки B₁, B₂, C₁, C₂. Пусть O – центр описанной окружности треугольника, I – центр вписанной окружности. Докажите, что радикальный центр описанных окружностей треугольников AA₁A₂, BB₁B₂, CC₁C₂, лежит на прямой OI.

   Решение

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 138]      

Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C₁ – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
  а) прямая C₁F делит пополам периметр треугольника ABC;
  б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Дан неравнобедренный треугольник ABC, AA₁ – его биссектриса, A₂ – точка касания вписанной окружности со стороной BC. Аналогично определяются точки B₁, B₂, C₁, C₂. Пусть O – центр описанной окружности треугольника, I – центр вписанной окружности. Докажите, что радикальный центр описанных окружностей треугольников AA₁A₂, BB₁B₂, CC₁C₂, лежит на прямой OI.

Прислать комментарий

Решение

Вася нарисовал на плоскости несколько окружностей и провёл всевозможные общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведённые прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася?

Прислать комментарий

Решение

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что  AB·CF = 2BC·FA,  CD·EB = 2DE·BC,  EF·AD = 2FA·DE.
Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁.
  а) Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
  б) Пусть A₂ – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA₁ и AA₂ симметричны относительно биссектрисы угла A.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 138]