Каталог по темам

Задачи

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 136]

Задача 65381

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Композиции симметрий	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Соколов А.

Пусть H и O – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AOH, пересекает серединный перпендикуляр к BC в точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108682

Темы:	[	Радикальная ось	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Маркелов С.В.

Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω₁ и ω₂, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω₁ и ω₂, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω₁ и ω₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115899

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, лучи BA и CD пересекаются в точке E, лучи BC и AD – в точке F. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AB, CD и биссектрисой угла B, касается прямой AB в точке K, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AD, BC и биссектрисой угла B, касается прямой BC в точке L. Докажите, что прямые KL, AC и EF пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56887

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Периметр треугольника	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C₁ – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
а) прямая C₁F делит пополам периметр треугольника ABC;
б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66275

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Новиков С.

Дан неравнобедренный треугольник ABC, AA₁ – его биссектриса, A₂ – точка касания вписанной окружности со стороной BC. Аналогично определяются точки B₁, B₂, C₁, C₂. Пусть O – центр описанной окружности треугольника, I – центр вписанной окружности. Докажите, что радикальный центр описанных окружностей треугольников AA₁A₂, BB₁B₂, CC₁C₂, лежит на прямой OI.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 136]