Страница:
<< 17 18 19 20
21 22 23 >> [Всего задач: 136]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C1, A1, B1 соответственно. Пусть A2, B2 – середины отрезков B1C1, A1C1 соответственно, O – центр описанной окружности треугольника ABC, P – одна из точек пересечения прямой CO с вписанной окружностью. Прямые PA2 и PB2 вторично пересекают вписанную окружность в точках A' и B'. Докажите, что прямые AA' и BB' пересекаются на высоте треугольника, опущенной на AB.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
В треугольнике ABC прямая m касается вписанной окружности ω. Прямые, проходящие через центр I окружности ω и перпендикулярные AI, BI, CI, пересекают прямую m в точках A', B', C' соответственно. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть A1, B1, C1 – проекции X на BC, CA, AB, а A2, B2, C2 – проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A1, B1, C1 на, соответственно, B2C2, C2A2,
A2B2, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр Ω.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
Дан четырёхугольник ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках P и Q. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма.
Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей ABCD.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон BC, CA, AB в точках A', B', C' соответственно. Перпендикуляр, опущенный из центра I этой окружности на медиану CM, пересекает прямую A'B' в точке K. Докажите, что CK || AB.
Страница:
<< 17 18 19 20
21 22 23 >> [Всего задач: 136]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Прямые, лучи, отрезки и углы
>>
Три прямые, пересекающиеся в одной точке
