Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 136]      

Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I₁ и I₂ соответственно. Прямая I₁I₂ пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

Точки I_A, I_B, I_C – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон BC, AC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из I_A на AC, пересекает перпендикуляр, опущенный из I_B на BC, в точке X_C. Аналогично определяются точки X_A и X_B. Докажите, что прямые I_AX_A, I_BX_B и I_CX_C пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC на высоте BK как на диаметре построена окружность S, пересекающая стороны AB и BC в точках E и F соответственно. К окружности S в точках E и F проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на прямой, содержащей медиану треугольника ABC, проведённую из вершины B.

Прислать комментарий

Решение

Точки A', B', C' – основания высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром B и радиусом BB' пересекает прямую A'C' в точках K и L (точки K и A лежат по одну сторону от BB'). Докажите, что точка пересечения прямых AK и CL лежит на прямой BO, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

В четырёхугольнике ABCD вписанная окружность ω касается сторон BC и DA в точках E и F соответственно. Оказалось, что прямые AB, FE и CD пересекаются в одной точке S. Описанные окружности Ω и Ω₁ треугольников AED и BFC, вторично пересекают окружность ω в точках E₁ и F₁. Докажите, что прямые EF и E₁F₁ параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 136]