Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фомин С.В.

Два шахматиста играют между собой в шахматы с часами (сделав ход, шахматист останавливает свои часы и пускает часы другого). Известно, что после того, как оба сделали по 40 ходов, часы обоих шахматистов показывали одно и то же время: 2 часа 30 мин.

  а) Докажите, что в ходе партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого не менее, чем на 1 мин. 51 сек.
  б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была равна 2 мин.?

Вниз   Решение


В треугольнике ABC проведён серединный перпендикуляр к стороне AB до пересечения с другой стороной в некоторой точке C'. Аналогично построены точки A' и B'. Для каких исходных треугольников треугольник A'B'C' будет равносторонним?

ВверхВниз   Решение


В городе Плоском нет ни одной башни. Для развития туризма жители города собираются построить несколько башен общей высотой в 30 этажей. Инспектор Высотников, поднимаясь на каждую башню, считает число более низких башен, а потом складывает получившиеся величины. После чего инспектор рекомендует город тем сильнее, чем получившаяся величина больше. Сколько и какой высоты башен надо построить жителям, чтобы получить наилучшую возможную рекомендацию?

ВверхВниз   Решение


На знакомом нам заводе вырезают металлические диски диаметром 1 м. Известно, что диск диаметром ровно 1 м весит ровно 100 кг. При изготовлении возникает ошибка измерения, и поэтому стандартное отклонение радиуса составляет 10 мм. Инженер Сидоров считает, что стопка из 100 дисков в среднем будет весить 10000 кг. На сколько ошибается инженер Сидоров?

ВверхВниз   Решение


Какое число больше: 3111 или 1714?

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA', BB', CC'. Известно, что в треугольнике A'B'C' эти прямые также являются биссектрисами.
Верно ли, что треугольник ABC равносторонний?

ВверхВниз   Решение


Сколько цифр у числа 21000?

ВверхВниз   Решение


Точки M и N – середины соседних сторон соответственно BC и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые DM и BN пересекаются на диагонали AC.

ВверхВниз   Решение


Продолжение биссектрисы AD треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M. Пусть Q - центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Докажите, что треугольники MBQ и MCQ - равнобедренные.

ВверхВниз   Решение


В круге радиуса 1 проведены хорды AB = $ \sqrt{2}$ и BC = $ {\frac{10}{7}}$. Найдите площадь части круга, лежащей внутри угла ABC, если угол BAC острый.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике $ABC$ провели высоты $AX$ и $BZ$, а также биссектрисы $AY$ и $BT$. Известно, что углы $XAY$ и $ZBT$ равны. Обязательно ли треугольник $ABC$ равнобедренный?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 1036]      



Задача 66846

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Можно ли в каждую клетку таблицы 40×41 записать по целому числу так, чтобы число в каждой клетке равнялось количеству тех соседних с ней по стороне клеток, в которых написано такое же число?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66858

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

На плоскости даны две параболы:  $y = x^2$  и  $y = x^2 - 1$.  Пусть $U$ – множество всех точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрезок длины более $10^6$, целиком содержащийся в $U$?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66890

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Треугольники (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

В треугольнике $ABC$ провели высоты $AX$ и $BZ$, а также биссектрисы $AY$ и $BT$. Известно, что углы $XAY$ и $ZBT$ равны. Обязательно ли треугольник $ABC$ равнобедренный?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66892

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

а) Можно ли разрезать квадрат на 4 равнобедренных треугольника, среди которых нет равных?

б) А можно ли разрезать равносторонний треугольник на 4 равнобедренных треугольника, среди которых нет равных?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66988

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8

Лабиринт для мышей (см. рисунок) представляет собой квадрат 5 × 5 метров, мыши могут бегать только по дорожкам. На двух перекрёстках положили по одинаковому куску сыра (обозначены крестиками). На другом перекрёстке сидит мышка (обозначена кружочком). Она чует, где сыр, но до обоих кусочков ей нужно пробежать одинаковое расстояние. Поэтому она не знает, какой кусочек выбрать, и задумчиво сидит на месте.

а) Отметьте ещё пять перекрёстков, где могла бы задумчиво сидеть мышка (откуда до обоих кусочков сыра ей нужно пробежать одинаковое расстояние).

б) Придумайте, на каких двух перекрёстках можно положить по куску сыра так, чтобы подходящих для задумчивой мышки перекрёстков оказалось как можно больше. (Доказательство максимальности от участников не требовалось)

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 1036]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .