Дан вписанный пятиугольник $APBCQ$. Точка $M$ внутри треугольника $ABC$ такова, что $\angle MAB=\angle MCA$, $\angle MAC=\angle MBA$ и $\angle PMB=\angle QMC=90^{\circ}$. Докажите, что прямые $AM$, $BP$ и $CQ$ пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 76 77 78 79 80 81 82 >> [Всего задач: 499]      

В остроугольном треугольнике ABC, в котором  ∠A = 45°,  проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁. Биссектриса угла BAA₁ пересекает прямую B₁A₁ в точке D, а биссектриса угла CAA₁ пересекает прямую C₁A₁ в точке E. Найдите угол между прямыми BD и CE.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны неравнобедренный треугольник, его описанная окружность, и отмечен центр его вписанной окружности.
Пользуясь только линейкой без делений и проведя не больше семи линий, постройте диаметр описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Дан вписанный пятиугольник $APBCQ$. Точка $M$ внутри треугольника $ABC$ такова, что $\angle MAB=\angle MCA$, $\angle MAC=\angle MBA$ и $\angle PMB=\angle QMC=90^{\circ}$. Докажите, что прямые $AM$, $BP$ и $CQ$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Окружности Ω₁ и Ω₂ пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, вторично пересекающая Ω₁ и Ω₂ в точках K и M соответственно. Прямая l₁ касается Ω₁ в точке Q и параллельна прямой AM. R – вторая точка пересечения прямой QA с Ω₂. Докажите, что
  а) касательная l₂, проведённая к Ω₂ в точке R, параллельна AK.;
  б) прямые l₁, l₂ и K имеют общую точку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 76 77 78 79 80 81 82 >> [Всего задач: 499]