ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

В треугольнике $ABC$ $\angle A=60^{\circ}$, точка $T$ такова, что $\angle ATB=\angle BTC=\angle ATC$. Окружность, проходящая через точки $B$, $C$ и $T$, повторно пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$. Докажите, что точки $K$ и $L$ равноудалены от прямой $AT$.

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      



Задача 67225

Темы:   [ Изогональное сопряжение ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Шевцов А.

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ и на ней выбрана точка $D$. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника $BDC$ в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $K$. Докажите, что $DD'$ параллельно $AK$, где $D'$ – точка, изогонально сопряжённая точке $D$ относительно треугольника $ABC$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66977

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Изогональное сопряжение ]
[ Теорема синусов ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

В треугольнике $ABC$ $(\angle C=90^{\circ})$, $CH$ – высота; $HA_{1}, HB_{1}$ – биссектрисы углов $\angle CHB, \angle AHC$ соответственно; $E, F$ – середины отрезков $HB_{1}$ и $HA_{1}$ соответственно. Докажите, что прямые $AE$ и $BF$ пересекаются на биссектрисе угла $ACB$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67096

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Изогональное сопряжение ]
[ Прямые, касающиеся окружностей (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В треугольнике $ABC$ $\angle A=60^{\circ}$, точка $T$ такова, что $\angle ATB=\angle BTC=\angle ATC$. Окружность, проходящая через точки $B$, $C$ и $T$, повторно пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$. Докажите, что точки $K$ и $L$ равноудалены от прямой $AT$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67246

Темы:   [ Теорема синусов ]
[ Изогональное сопряжение ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть точка $M$ – середина катета $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $A$. На медиане $AN$ треугольника $AMC$ отмечена точка $D$, так что углы $ACD$ и $BCM$ равны. Докажите, что угол $DBC$ также равен этим углам.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67248

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Изогональное сопряжение ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$ с центром $O$. Точка $A’$ диаметрально противоположна $A$ на $\omega$. На меньшей дуге $BC$ окружности $\omega$ выбрана точка $D$. Точка $D’$ симметрична $D$ относительно стороны $BC$. Прямая $A’D’$ вторично пересекает $\omega$ в точке $E$. Серединный перпендикуляр к $D’E$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что $\angle FOG=180^\circ-2\angle BAC$.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .