Версия для печати
Убрать все задачи

---

Решите в комплексных числах уравнения:
  а)  z⁴ – 4z³ + 6z² – 4z – 15 = 0;   б)  z³ + 3z² + 3z + 3 = 0;   в)  z⁴ + (z – 4)⁴ = 32;   г)  

   Решение

---

В треугольнике ABC высота CD = 7, а высота AE = 6. Точка E делит сторону BC так, что BE : EC = 3 : 4. Найдите сторону AB.

   Решение

---

Докажите, что произвольная последовательность Q_n, заданная условиями

может быть выражена через числа Фибоначчи F_n и числа Люка L_n (определение чисел Люка смотри в задаче 3.133).

   Решение

---

Большая окружность вписана в ромб, каждая из двух меньших окружностей касается двух сторон ромба и большой окружности, как на рисунке. Через точки касания окружностей со сторонами ромба провели четыре штриховые прямые, как на рисунке. Докажите, что они образуют квадрат.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 225]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67148

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Большая окружность вписана в ромб, каждая из двух меньших окружностей касается двух сторон ромба и большой окружности, как на рисунке. Через точки касания окружностей со сторонами ромба провели четыре штриховые прямые, как на рисунке. Докажите, что они образуют квадрат.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67240

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Проективные преобразования плоскости ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан треугольник $ABC$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ берутся на его описанной окружности так, что $A_1B_1\parallel AB$, $A_1A_2\parallel BC$, $B_1B_2\parallel AC$. Прямые $AA_2$ и $CA_1$ пересекаются в точке $A'$, а прямые $BB_2$ и $CB_1$ – в точке $B'$. Докажите, что все прямые $A'B'$ проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77874

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Гомотетичные окружности ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Доказать, что в любом треугольнике имеет место неравенство: R2r (R и r — радиусы описанного и вписанного кругов соответственно), причем равенство R = 2r имеет место только для правильного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108006

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Докажите, что при гомотетии с центром в точке пересечения высот треугольника и коэффициентом описанная окружность треугольника переходит в окружность девяти точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108703

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На сторонах AC и BC треугольника ABC отметили точки P и Q соответственно. Оказалось, что AB=AP=BQ=1 , а точка пересечения отрезков AQ и BP лежит на вписанной окружности треугольника ABC . Найдите периметр треугольника ABC .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 225]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями