Каталог по темам

Задачи

Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 328]

Задача 105063

Темы:	[	Итерации	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Буфетов А.И.

Кузнечик прыгает по отрезку [0,1]. За один прыжок он может попасть из точки x либо в точку x/3^1/2, либо в точку x/3^1/2+(1-(1/3^1/2)). На отрезке [0,1] выбрана точка a.
Докажите, что, начиная из любой точки, кузнечик может через несколько прыжков оказаться на расстоянии меньше 1/100 от точки a.

Прислать комментарий Решение

Задача 73620

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Васерштейн Л.Н.

Для любых натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_m, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b₁, b₂, ..., b_m сумма не равна нулю. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110030

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Авторы: Дольников В.Л., Карпов Д.В., Берлов С.Л.

В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более N различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на N + 2 республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109776

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Черепанов Е.

У Ани и Бори было по длинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, на другой – Б. Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает справа или слева к слову на своей полосе слово с полосы другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной полосы можно будет разрезать на 2 части и переставить их местами так, что получится то же слово, записанное в обратном порядке.

Прислать комментарий Решение

Задача 73590

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 6+
Классы: 8,9,10,11

Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше n цифр, разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во второе — c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа k £ n сумма k-х степеней всех чисел первого множества равна сумме k-х степеней всех чисел второго множества.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 328]