Каталог по темам

Задачи

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 326]

Задача 105093

Темы:	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]
	[	Кубические многочлены	]
	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109829

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Степень вершины	]
	[	Перестройки	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Авторы: Глебов А., Фон-дер-Флаас Д.

На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное число (0, 2 или 4) белых клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно окрасить в красный или зелёный цвет так, чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток, соседних с ней по стороне.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108233

Темы:	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9

Автор: Савин А.П.

Дан правильный треугольник ABC . Через вершину B проводится произвольная прямая l , а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой l , пересекающие её в точках D и E . Затем, если точки D и E различны, строятся правильные треугольники DEP и DET , лежащие по разные стороны от прямой l . Найдите геометрическое место точек P и T .

Прислать комментарий Решение

Задача 109510

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Авторы: Августинович С., Фон-дер-Флаас Д.

Докажите, что существует такое натуральное число n , что если правильный треугольник со стороной n разбить прямыми, параллельными его сторонам, на n² правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать 1993n точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).

Прислать комментарий Решение

Задача 73610

Темы:	[	Обходы многогранников	]
	[	Параллельное проектирование (прочее)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Автор: Кушниренко А.Г.

а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это. (Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)

б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это.

в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это.

г) Докажите, что в задаче б) можно выбрать три ломаные, никакие две из которых не имеют общих вершин, за исключением точек А и В.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 326]