Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Многочлены >> Формулы сокращенного умножения >> Разложение на множители
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину B. Докажите, что медиана BE треугольника ABK и высота BF треугольника CBN лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке.)

Вниз   Решение

Автор: Фольклор

Найдите такое значение $a > 1$,  при котором уравнение  $a^x = \log_a x$  имеет единственное решение.

ВверхВниз   Решение

В треугольник ABC вписана окружность. Пусть x — расстояние от вершины A до касания окружности со стороной AB, BC = a. Докажите, что x = p - a, где p — полупериметр треугольника.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Лопшиц А.Л., Васильев Н.Б.

Пусть A', B', C', D', E', F' – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF. Известны площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.

ВверхВниз   Решение

Автор: Дранишников А.Н.

Dписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, BC и AC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Известно, что  AA1 = BB1 = CC1.  Докажите, что треугольник ABC правильный.

ВверхВниз   Решение

Угол при вершине D трапеции ABCD с основаниями AD и BC равен 60o. Найдите диагонали трапеции, если AD = 10, BC = 3 и CD = 4.

ВверхВниз   Решение

Боковое ребро пирмиды разделено на 100 равных частей и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите отношение площадей наибольшего и наименьшего из получившихся сечений.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике известны сторона a и два прилежащих к ней угла β и γ. Найдите биссектрису, проведённую из вершины третьего угла.

ВверхВниз   Решение

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b и углом α бокового ребра с плоскостью основания.

ВверхВниз   Решение

Основанием пирамиды служит многоугольник, около которого можно описать окружность. Докажите, что около этой пирамиды можно описать сферу. Найдите радиус этой сферы, если радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен r, высота равна h, а основание высоты совпадает с вершиной основания пирамиды.

ВверхВниз   Решение

Дана последовательность ..., a-n,..., a-1, a0, a1,..., an,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен $ {\frac{1}{4}}$ суммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).

ВверхВниз   Решение

Из всякого ли выпуклого четырехугольника можно вырезать параллелограмм, три вершины которого совпадают с тремя вершинами этого четырехугольника?

ВверхВниз   Решение

В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное количество монет достоинством в n1, n2, n3, ... копеек, где
n1 < n < 2 < n3 < ...  – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число N, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в n1, n2, ..., nN копеек.

ВверхВниз   Решение

Шеренга солдат называется неправильной, если никакие три подряд стоящих солдата не стоят по росту (ни в порядке возрастания, ни в порядке убывания). Сколько неправильных шеренг можно построить из n солдат разного роста, если

  а)  n = 4;

  б)  n = 5?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что выражение  x5 + 3x4y – 5x³y2 – 15x²y³ + 4xy4 + 12y5  не равно 33 ни при каких целых значениях x и y.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 267]      

  с решениями  

Задача 61005

Темы:   [ Разложение на множители ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены:

а) x4 + 4; ж) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3;
б) 2x3 + x2 + x – 1; з) (x – y)5 + (y - z)5 + (z – x)5;
в) x10 + x5 + 1; и) a8 + a6b2 + a4b4 + a2b6 + b8;
г) a3 + b3 + c3 – 3abc; к) (x2 + x + 1)2 + 3x(x2 + x + 1) + 2x2;
д) x3 + 3xy + y3 – 1; л) a4 + b4 + c4 - 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2;
е) x2y2 – x2 + 4xy – y2 + 1; м) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61006

Тема:   [ Разложение на множители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен  x4 + x3 + x2 + x + 12?

Прислать комментарий     Решение

Задача 76528

Тема:   [ Разложение на множители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что выражение  x5 + 3x4y – 5x³y2 – 15x²y³ + 4xy4 + 12y5  не равно 33 ни при каких целых значениях x и y.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109915

Темы:   [ Разложение на множители ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Тен О.

Даны натуральные числа m и n. Докажите, что число  2n – 1  делится на число  (2m – 1)²  тогда и только тогда, когда число n делится на число  m(2m – 1).

Прислать комментарий     Решение

Задача 110212

Темы:   [ Разложение на множители ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Сендеров В.А.

При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа  a + b  и  an + bn  – целые?
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 267]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .