Каталог по темам

Выбрано 8 задач

Точка P перемещается по описанной окружности квадрата ABCD. Прямые AP и BD пересекаются в точке Q, а прямая, проходящая через точку Q параллельно AC, пересекает прямую BP в точке X. Найдите ГМТ X.

Решение

В выпуклом четырёхугольнике тангенс одного из углов равен числу m. Могут ли тангенсы каждого из трёх остальных углов также равняться m?

Решение

Две прямые пересекаются под углом $\gamma$ . Кузнечик прыгает с одной прямой на другую; длина каждого прыжка равна 1 м, и кузнечик не прыгает обратно, если только это возможно. Докажите, что последовательность прыжков периодична тогда и только тогда, когда $\gamma$ / $\pi$ — рациональное число.

Решение

Автор: Прокопенко Д.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD , BE и CF , пересекающиеся в точке I . Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает прямые BE и CF в точках M и N соответственно. Докажите, что точки A , I , M и N лежат на одной окружности.

Решение

Легко проверить равенства

log $\displaystyle \left(\vphantom{16+\dfrac{16}{15}}\right.$ 16 + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{16}{15}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{16+\dfrac{16}{15}}\right)$ = log 16 + log $\displaystyle {\textstyle\dfrac{16}{15}}$ ;

log $\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{64}7-8}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\dfrac{64}{7}}$ - 8 $\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{64}7-8}\right)$ = log $\displaystyle {\textstyle\dfrac{64}{7}}$ - log 8.

В каких еще случаях можно выносить логарифм за скобку?

Решение

В пространстве построена замкнутая ломаная так, что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три последовательных звена попарно перпендикулярны. Доказать, что число звеньев делится на 6.

Решение

Постройте окружность данного радиуса, касающуюся двух данных прямых.

Решение

В числовом треугольнике

каждое число равно сумме чисел, расположенных в предыдущей строке над этим числом и над его соседями справа и слева (отсутствующие числа считаются равными нулю). Докажите, что в каждой строке, начиная с третьей, найдутся чётные числа.

Решение

Задача 76551

Задача 78023

Задача 78226

Задача 78246

Задача 78260