Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Дана трапеция PQRN с основаниями PN = 8 и QR = 4, боковой стороной PQ = $ \sqrt{28}$ и углом RNP, равным 60o. Через точку R проходит прямая, делящая трапецию на две равновеликие фигуры. Найдите длину всего отрезка этой прямой, находящегося внутри трапеции.

Вниз   Решение


Окружность с центром в точке O делит отрезок AO пополам. Найдите угол между касательными, проведёнными из точки A.

ВверхВниз   Решение


Гипотенуза прямоугольного треугольника служит стороной квадрата, расположенного вне треугольника.
Найдите расстояние между вершиной прямого угла треугольника и центром квадрата, если сумма катетов треугольника равна d.

ВверхВниз   Решение


Сеть автобусных маршрутов в пригороде Амстердама устроена так, что:
  а) на каждом маршруте есть ровно три остановки;
  б) каждые два маршрута либо вовсе не имеют общих остановок, либо имеют только одну общую остановку.
Какое наибольшее количество маршрутов может быть в этом пригороде, если в нём всего 9 остановок?

ВверхВниз   Решение


Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами  AC = 3  и  BC = 4.  Через точку C проведена прямая, лежащая вне треугольника и образующая с катетами углы, равные 45°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, B и касающейся этой прямой.

ВверхВниз   Решение


На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD отметили точки E и F, так что AFCE – ромб. Известно, что  АВ = 16,  ВС = 12.  Найдите EF.

ВверхВниз   Решение


Четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O.
Докажите, что ломаная AOC делит его на две равновеликие части.

ВверхВниз   Решение


Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5:6, а гипотенуза равна 122. Найдите отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

ВверхВниз   Решение


На острове живут рыцари, лжецы и подпевалы; каждый знает про всех, кто из них кто. В ряд построили всех 2018 жителей острова и попросили каждого ответить "Да" или "Нет" на вопрос: "На острове рыцарей больше, чем лжецов?". Жители отвечали по очереди и так, что их слышали остальные. Рыцари отвечали правду, лжецы лгали. Каждый подпевала отвечал так же, как большинство ответивших до него, а если ответов "Да" и "Нет" было поровну, давал любой из этих ответов. Оказалось, что ответов "Да" было ровно 1009. Какое наибольшее число подпевал могло быть среди жителей острова?

ВверхВниз   Решение


Найдите диагонали четырёхугольника, образованного биссектрисами внутренних углов прямоугольника со сторонами 1 и 3.

ВверхВниз   Решение


Найдите наибольшее значение выражения  a + b + c + d – ab – bc – cd – da,  если каждое из чисел a, b, c и d принадлежит отрезку  [0, 1].

ВверхВниз   Решение


В трапеции ABCD известно, что $ \angle$BAD = 90o, $ \angle$ADC = 30o. Окружность, центр которой лежит на отрезке AD, касается прямых AB, BC и CD. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен R.

ВверхВниз   Решение


На стороне AB треугольника ABC между точками A и B взята точка D, причём AD : AB = $ \alpha$ ($ \alpha$ < 1); на стороне BC между точками B и C взята точка E, причём BE : BC = $ \beta$ ($ \beta$ < 1). Через точку E проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая сторону AB в точке F. Найдите отношение площадей треугольников BDE и BEF.

ВверхВниз   Решение


Диагональ KM трапеции KLMN в 3 раза длиннее отрезка KP этой диагонали. Основание KN трапеции в 3 раза длиннее основания LM.
Найдите отношение площади трапеции KLMN к площади треугольника KPR, где R – точка пересечения прямой PN и стороны KL.

ВверхВниз   Решение


В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектрисы BD и AF пересекаются в точке O. Отношение площади треугольника DOA к площади треугольника BOF равно $ {\frac{3}{8}}$. Найдите отношение $ {\frac{AC}{AB}}$.

ВверхВниз   Решение


Сколько цифр имеет число 2100?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 590]      



Задача 77868

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Произведения и факториалы ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Сколько цифр имеет число 2100?

Прислать комментарий     Решение

Задача 78293

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Наибольшая или наименьшая длина ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Как надо расположить числа 1, 2, ..., 1962 в последовательности a1, a2, ..., a1962, чтобы сумма  |a1a2| + |a2a3| + ... + |a1961a1962| + |a1962a1|  была наибольшей?

Прислать комментарий     Решение

Задача 78298

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Наибольшая или наименьшая длина ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Как надо расположить числа  1, 2, ..., 2n  в последовательности  a1, a2, ..., a2n,  чтобы сумма  |a1a2| + |a2a3| + ... + |a2n–1a2n| + |a2na1|  была наибольшей?

Прислать комментарий     Решение

Задача 79368

Темы:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ]
[ Доказательство от противного ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Имеется несколько камней, масса каждого из которых не превосходит 2 кг, а общая масса равна 100 кг. Из них выбирается несколько камней, суммарная масса которых отличается от 10 кг на наименьшее возможное для данного набора число d. Какое максимальное значение может принимать число d для всевозможных наборов камней?

Прислать комментарий     Решение

Задача 88295

Тема:   [ Классические неравенства ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Укажите какое-нибудь целое положительное n, при котором
  а)  1,001n > 10;
  б)  0,999n < 0,1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 590]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .