Рассмотрим прямоугольник ABCD , в котором AB = 2 , BC = 3 . Отрезок KM параллелен AB (см.рис.), расположен на расстоянии 1 от плоскости ABCD и KM = 5 . Найдите объём многогранника ABCDKM .

   Решение

Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основанию и пересекающая боковые стороны в точках E и F. Отрезок EF равен 2. Найдите основания, если их отношение равно 4.

   Решение

В треугольной пирамиде ABCD известно, что DC = 9 , DB = AD , а ребро AC перпендикулярно грани ABD . Сфера радиуса 2 касается грани ABC , ребра DC , а также грани DAB , в точке пересечения её медиан. Найдите объём пирамиды.

   Решение

В комнате находятся 85 воздушных шаров  — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный; 2) из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?

   Решение

Вписанная окружность неравнобедренного треугольника ABC касается сторон AB, BC и ABC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Описанная окружность треугольника A₁BC₁ пересекает прямые B₁A₁ и B₁C₁ в точках A₀ и C₀ соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника A₀BC₀, центр I вписанной окружности треугольника ABC и середина M стороны AC лежат на одной прямой.

   Решение

Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sinα + sinβ + sinγ > 2 .

   Решение

n – натуральное число,  n ≥ 4.  Докажите, что  n! ≥ 2ⁿ.

   Решение

В параллелограмме ABCD опустили перпендикуляр BH на сторону AD. На отрезке BH отметили точку M, равноудалённую от точек C и D. Пусть точка K – середина стороны AB. Докажите, что угол MKD прямой.

   Решение

На стороне AB треугольника ABC между точками A и B взята точка D, причём AD : AB = ( < 1); на стороне BC между точками B и C взята точка E, причём BE : BC = ( < 1). Через точку E проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая сторону AB в точке F. Найдите отношение площадей треугольников BDE и BEF.

   Решение

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Докажите, что четыре точки касания лежат в одной плоскости.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами A₁, A₂, ..., A_n, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3n отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине A₁, равны между собой. То же самое верно и для вершин A₂, A₃, ..., A_{n - 1}. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине A_n, также равны между собой.

Прислать комментарий

Решение

Стороны AB, BC, CD, DA пространственного четырёхугольника ABCD касаются некоторой сферы в точках K, L, M, N соответственно.
Докажите, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

Дана замкнутая пространственная ломаная. Некоторая плоскость пересекает все её звенья: A₁A₂ в точке B₁, A₂A₃ — в точке B₂, ..., A_nA₁ -- в точке B_n. Докажите, что

... = 1.

Прислать комментарий

Решение

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Докажите, что четыре точки касания лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]