Версия для печати
Убрать все задачи

---

В окружности радиуса R проведена хорда, равная ^R/₂. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой – секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей.

   Решение

---

Дана последовательность целых чисел, построенная следующим образом: a₁ — произвольное трёхзначное число, a₂ — сумма квадратов его цифр, a₃ — сумма квадратов цифр числа a₂ и т.д. Докажите, что в последовательности a₁, a₂, a₃, ...обязательно встретится либо 1, либо 4.

   Решение

Страница: << 155 156 157 158 159 160 161 >> [Всего задач: 1235]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61326

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Итерации ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Найдите с точностью до 0,01 сотый член x₁₀₀ последовательности {x_n}, если
а) x₁ [0; 1], x_{n + 1} = x_n(1 - x_n), (n > 1);
б) x₁ [0, 1; 0, 9], x_{n + 1} = 2x_n(1 - x_n), (n > 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65883

Темы:   [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

На прямой сидит конечное число лягушек в различных целых точках. За ход ровно одна лягушка прыгает на 1 вправо, причём они по-прежнему должны быть в различных точках. Мы вычислили, сколькими способами лягушки могут сделать n ходов (для некоторого начального расположения лягушек). Докажите, что если бы мы разрешили тем же лягушкам прыгать влево, запретив прыгать вправо, то способов сделать n ходов было бы столько же.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66202

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Итерации ] [ Двоичная система счисления ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Дано иррациональное число α,  0 < α < ½.  По нему определяется новое число α₁ как меньшее из двух чисел 2α и  1 – 2α.  По этому числу аналогично определяется α₂, и так далее.
  а) Докажите, что  α_n < ³/₁₆  для некоторого n .
  б) Может ли случиться, что  α_n > ⁷/₄₀  при всех натуральных n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66476

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Назовем расстановку n единиц и m нулей по кругу хорошей, если в ней можно поменять местами соседние нуль и единицу так, что получится расстановка, отличающаяся от исходной поворотом. При каких натуральных n, m существует хорошая расстановка?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67518

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Дано натуральное число $n$. Натуральное число $m$ назовём удачным, если найдутся $m$ последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме $n$ следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 155 156 157 158 159 160 161 >> [Всего задач: 1235]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями