Докажите, что если числа x, y, z при некоторых значениях p и q являются решениями системы
     y = xⁿ + px + q,  z = yⁿ + py + q,  x = zⁿ + pz + q,
то выполнено неравенство  x²y + y²z + z²x ≥ x²z + y²x + z²y.
Рассмотрите случаи   а)  n = 2;   б)  n = 2010.

   Решение

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.

   Решение

Точки А₁ и А₃ расположены по одну сторону от плоскости α, а точки А₂ и А₄ – по другую сторону. Пусть В₁, В₂, В₃ и В₄ – точки пересечения отрезков А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄ и А₄А₁ с плоскостью α соответственно. Найдите  

   Решение

Окружность S и точка O лежат в одной плоскости, причём O находится вне окружности. Построим произвольный шар, проходящий через окружность S, и опишем конус с вершиной в точке O и касающийся шара. Найти геометрическое место центров окружностей, по которым конусы касаются шаров.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

Прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой     положили боком на плоскость и покатили так, что его вершина осталась неподвижна. Сколько оборотов сделает его основание до момента, когда конус вернется в исходное положение?

Прислать комментарий

Решение

У прямого кругового конуса длина образующей равна 5, а диаметр равен 8.

Найдите наибольшую площадь треугольного сечения, которая может получиться при пересечении конуса плоскостью.

Прислать комментарий

Решение

Среди углов каждой боковой грани пятиугольной призмы есть угол φ. Найдите все возможные значения φ.

Прислать комментарий

Решение

Окружность S и точка O лежат в одной плоскости, причём O находится вне окружности. Построим произвольный шар, проходящий через окружность S, и опишем конус с вершиной в точке O и касающийся шара. Найти геометрическое место центров окружностей, по которым конусы касаются шаров.

Прислать комментарий

Решение

В усеченную треугольную пирамиду вписана сфера, касающаяся оснований в точках $T_1$, $T_2$. Пусть $h$ – высота пирамиды, $R_1$, $R_2$ – радиусы окружностей, описанных около ее оснований, $O_1$, $O_2$ – центры этих окружностей. Докажите, что $$R_1R_2h^2=(R_1^2-O_1T_1^2)(R_2^2-O_2T_2^2).$$

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]