Каталог по темам

Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 177]

Задача 78483

Тема:

[

Алгебраические неравенства (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

a, b, c – такие три числа, что abc > 0 и a + b + c > 0. Доказать, что aⁿ + bⁿ + cⁿ > 0 при любом натуральном n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78561

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

X – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа: 1, X, X², X³, X⁴, ..., X^k (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78563

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1.
Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке [–2, 2].

Прислать комментарий

Решение

Задача 78667

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 11

По заданной последовательности положительных чисел q₁,..., q_n, ... строится последовательность многочленов следующим образом:
f₀(x) = 1,
f₁(x) = x,
...
f_n+1(x) = (1 + q_n)xf_n(x) – q_nf_n–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79430

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3+
Классы: 9

Доказать, что при любых x > и y > выполняется неравенство x⁴ – x³y + x²y² – xy³ + y⁴ > x² + y².

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 177]