Версия для печати
Убрать все задачи

---

На окружности расставлено несколько положительных чисел, каждое из которых не больше 1. Докажите, что можно разделить окружность на три дуги так, что суммы чисел на соседних дугах будут отличаться не больше чем на 1. (Если на дуге нет чисел, то сумма на ней считается равной нулю.)

   Решение

---

а) Доказать, что из трёх положительных чисел всегда можно выбрать такие два числа x и y, что  0 ≤ ≤ 1.
б) Верно ли, что указанные два числа можно выбрать из любых четырёх чисел?

   Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115414

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дано натуральное  n > 1.  Число  a > n²  таково, что среди чисел  a + 1, a + 2, ..., a + n  есть кратные каждого из чисел  n² + 1, n² + 2, ..., n² + n.
Докажите, что  a > n⁴ – n³.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61394

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Классические неравенства (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Индукция (прочее) ] [ Число e ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Докажите неравенства:
  а)  

  б)     при  n > 1;

  в)     при n > 6.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110122

Темы:   [ Монотонность, ограниченность ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Функции  f(x) – x  и  f(x²) – x⁶  определены при всех положительных x и возрастают.
Докажите, что функция     также возрастает при всех положительных x.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79520

Темы:   [ Тригонометрические замены ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

а) Доказать, что из трёх положительных чисел всегда можно выбрать такие два числа x и y, что  0 ≤ ≤ 1.
б) Верно ли, что указанные два числа можно выбрать из любых четырёх чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60303

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Произведения и факториалы ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Докажите неравенство для натуральных  n > 1:  

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями