Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Стереометрия
>>
Геометрические неравенства
>>
Длины и периметры (геометрические неравенства)
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Вычислить с пятью десятичными знаками (то есть с точностью до
0,00001) произведение:
Пусть R и r — радиусы описанной и вписанной
окружностей треугольника. Докажите, что R2r, причем
равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.
Решите уравнение: x(x + 1) = 2014·2015.
Определить отношение двух чисел, если отношение их среднего арифметического к среднему геометрическому равно 25 : 24.
Даны два набора векторов
a1,...,an и
b1,...,bm, причем сумма длин проекций векторов
первого набора на любую прямую не больше суммы длин проекций векторов
второго набора на ту же прямую. Докажите, что сумма
длин векторов первого набора не больше суммы длин
векторов второго набора.
Пусть M — центр масс n-угольника
A1...An;
M1,..., Mn — центры масс (n - 1)-угольников,
полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин
A1,...,
An соответственно. Докажите, что многоугольники
A1...An
и
M1...Mn гомотетичны.
Биссектриса угла A треугольника ABC продолжена до пересечения в D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что AD > 1/2 (AB + AC).
Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D, не лежащих в одной плоскости, выполнено неравенство AB·CD + AC·BD > AD·BC.
Докажите, что
rrc c2/4.
Известно, что если поверхность некоторого тетраэдра ABCD разрезать вдоль рёбер AD , BD и CD , то его развёрткой на плоскость ABC будет квадрат со стороной a . Найдите объём тетраэдра.
На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.
В треугольнике ABC взяли точку M так, что что радиусы описанных окружностей треугольников AMC, BMC и BMA не меньше радиуса описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что все четыре радиуса равны.
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC
пересекаются в точке M; P — произвольная точка. Прямая la
проходит через точку A параллельно прямой PA1; прямые lb
и lc определяются аналогично. Докажите, что:
а) прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке Q;
б) точка M лежит на отрезке PQ, причем PM : MQ = 1 : 2.
В пространстве рассматриваются два отрезка AB и CD ,
не лежащие в одной плоскости. Пусть M и K – их
середины. Докажите, что MK < (AD + BC) .
Задачи Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]
Задача 87102 |
|
|
Дан куб с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от
произвольной точки до его вершин не меньше 4 .
|
|
Решение |
Задача 87103 |
|
|
Пусть a , b и c – стороны параллелепипеда, d –
одна из его диагоналей. Докажите, что
a2 + b2 + c2
d2 .
|
|
|
Решение |
Задача 87105 |
|
|
В пространстве рассматриваются два отрезка AB и CD ,
не лежащие в одной плоскости. Пусть M и K – их
середины. Докажите, что MK < (AD + BC) .
|
|
Решение |
Задача 64319[Неравенство Птолемея] |
|
|
Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D, не лежащих в одной плоскости, выполнено неравенство AB·CD + AC·BD > AD·BC.
|
|
|
Решение |
Задача 98420[Багаж в Московском метрополитене] |
|
Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его
измерений – длины, ширины и высоты.
Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]
