Каталог по темам

Выбрано 16 задач

В треугольнике основание равно 12; один из углов при нём равен 120^o; сторона против этого угла равна 28. Найдите третью сторону.

Решение

Боковые ребра пирамиды равны между собой. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

Решение

Угол при вершине D трапеции ABCD с основаниями AD и BC равен 60^o. Найдите диагонали трапеции, если AD = 10, BC = 3 и CD = 4.

Решение

Высота прямоугольного треугольника ABC, опущенная на гипотенузу, равна 9.6. Из вершины C прямого угла восставлен к плоскости треугольника ABC перпендикуляр CM, причем CM = 28. Найдите расстояние от точки M до гипотенузы AB.

Решение

Докажите, что для остроугольного треугольника

$\displaystyle {\frac{1}{l_a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{l_b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{l_c}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \sqrt{2}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{c}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)$ .

Решение

Стороны треугольника равны a, b, c. Известно, что a³=b³+c³. Докажите, что этот треугольник остроугольный.

Решение

Автор: Косухин О.Н.

Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что BD = CD, ∠BDC = 120°. Вне треугольника ABC взята такая точка E, что AE = CE, ∠AEC = 60° и точки B и E находятся в разных полуплоскостях относительно AC. Докажите, что ∠AFD = 90°, где F – середина отрезка BE.

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Назовём треугольник рациональным, если все его углы измеряются рациональным числом градусов. Назовём точку внутри треугольника рациональной, если при соединении её отрезками с вершинами мы получим три рациональных треугольника. Докажите, что внутри любого остроугольного рационального треугольника найдутся как минимум три различные рациональные точки.

Решение

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение

Докажите, что прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна к наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к ортогональной проекции этой на наклонной на данную плоскость.

Решение

Решите уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Решение

Докажите, что 4S = (a² - (b - c)²)ctg( $\alpha$ /2).

Решение

Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

Решение

На стороне AB треугольника ABC взята точка D, а на стороне A₁B₁ треугольника A₁B₁C₁ взята точка D₁. Известно, что треугольники ADC и A₁D₁C₁ равны и отрезки DB и D₁B₁ равны. Докажите равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁.

Решение

На плоскости лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после25 ударов?

Решение

Высота треугольной пирамиды проходит через точку пересечения высот треугольника основания. Докажите, что противоположные рёбра пирамиды попарно перпендикулярны.

Решение

Задача 87427

Задача 87236

Задача 87245

Задача 87342

Задача 87344