Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Из круга S радиуса 1 вырезали круг S' радиуса 1/2, граница которого проходит через центр исходного круга. Определите, где находится центр тяжести полученной фигуры F.

Вниз   Решение


Все рёбра треугольной пирамиды равны a. Найти наибольшую площадь, которую может иметь ортогональная проекция этой пирамиды на плоскость.

ВверхВниз   Решение


Пусть A1, B1,..., F1 — середины сторон AB, BC,..., FA произвольного шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников A1C1E1 и B1D1F1 совпадают.

ВверхВниз   Решение


На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K и L так, что BK : KC = CL : LD. Докажите, что центр масс треугольника AKL лежит на диагонали BD.

ВверхВниз   Решение


Решить уравнение  x8 + 4x4 + x² + 1 = 0.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник с периметром, равным 24. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах сторон данного.

ВверхВниз   Решение


Центрально симметричная фигура на клетчатой бумаге состоит из n "уголков" и k прямоугольников размером 1×4, изображенных на рис. Докажите, что n четно.


ВверхВниз   Решение


Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей к радиусу вписанной окружности равно k. Найдите углы треугольника.

ВверхВниз   Решение


Правильный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость $\beta$, полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость $\gamma$ и получили снова правильный треугольник. Докажите, что
  а) угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между плоскостями $\beta$ и $\gamma$;
  б) плоскость $\beta$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\gamma$ по перпендикулярным друг другу прямым.

ВверхВниз   Решение


Автор: Agarwal P.

Пусть $\gamma_A$, $\gamma_B$, $\gamma_C$ – вневписанные окружности треугольника $ABC$, касающиеся сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Обозначим через $l_A$ общую внешнюю касательную окружностей $\gamma_B$ и $\gamma_C$, отличную от $BC$. Аналогично определим $l_B$, $l_C$. Из точки $P$, лежащей на $l_A$, проведем отличную от $l_A$ касательную к $\gamma_B$ и найдем точку $X$ ее пересечения с $l_C$. Аналогично найдем точку $Y$ пересечения касательной из $P$ к $\gamma_C$ с $l_B$. Докажите, что прямая $XY$ касается $\gamma_A$.

ВверхВниз   Решение


Треугольное сечение куба касается вписанного в куб шара. Докажите, что площадь этого сечения меньше половины площади грани куба.

ВверхВниз   Решение


Сторона $AC$ треугольника $ABC$ касается вписанной окружности в точке $K$, а соответствующей вневписанной в точке $L$. Точка $P$ – проекция центра вписанной окружности на серединный перпендикуляр к $AC$. Известно, что касательные в точках $K$ и $L$ к описанной окружности треугольника $BKL$ пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $AB$ и $BC$ касаются окружности $PKL$.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника, один из острых углов которого равен 30°. Из этого угла по медиане противоположной стороны выпущен шар (материальная точка). Доказать, что после восьми отражений (угол падения равен углу отражения) он попадёт в лузу, находящуюся в вершине угла 60°.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 345]      



Задача 32026

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9

Точка M внутри выпуклого четырехугольника ABCD такова, что площади треугольников ABM, BCM, CDM и DAM равны. Верно ли, что ABCD — параллелограмм, а точка M — точка пересечения его диагоналей?

Прислать комментарий     Решение

Задача 55555

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Треугольники ABC и ABD равны, причём точки C и D не совпадают. Докажите, что прямая CD перпендикулярна прямой AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78287

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Композиции симметрий ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

У края биллиарда, имеющего форму правильного 2n-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97801

Тема:   [ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Фольклор

Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника, один из острых углов которого равен 30°. Из этого угла по медиане противоположной стороны выпущен шар (материальная точка). Доказать, что после восьми отражений (угол падения равен углу отражения) он попадёт в лузу, находящуюся в вершине угла 60°.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108627

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Из точек A и B , лежащих на разных сторонах угла, восставлены перпендикуляры к сторонам, пересекающие биссектрису угла в точках C и D . Докажите, что середина отрезка CD равноудалена от точек A и B .
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 345]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .