Каталог по темам

Задачи

Страница: << 100 101 102 103 104 105 106 >> [Всего задач: 1371]

Задача 97985

Темы:	[	Перестройки	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Разные задачи на разрезания	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Авторы: Фомин Д., Слейтор Д., Тарьян Р., Тёрстон У.

Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (перестройку): взяв пару треугольников ABD и BCD с общей стороной, заменить их на треугольники ABC и ACD. Пусть P(n) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
а) P(n) ≥ n – 3;
б) P(n) ≤ 2n – 7;
в) P(n) ≤ 2n – 10 при n ≥ 13.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98003

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Параллелограммы (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Васильев Н.Б.

Выпуклые четырёхугольники ABCD и PQRS вырезаны соответственно из бумаги и картона. Будем говорить, что они подходят друг к другу, если выполняются два условия:
1) картонный четырёхугольник можно наложить на бумажный так, что его вершины попадут на стороны бумажного, по одной вершине на каждую сторону;
2) если после этого перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный, то они закроют весь картонный четырёхугольник в один слой.
а) Докажите, что, если четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны,
либо диагонали перпендикулярны.
б) Докажите, что если ABCD – параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный четырёхугольник.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98015

Темы:	[	Плоскость, разрезанная прямыми	]
	[	Раскраски	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Фомин Д.

На плоскости дано N прямых (N > 1), никакие три из которых не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны. Докажите, что в частях, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно расставить ненулевые целые числа, по модулю не превосходящие N, так, что суммы чисел по любую сторону от любой из данных прямых равны нулю.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98027

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Фольклор

Плоскость разбита тремя сериями параллельных прямых на равные между собой равносторонние треугольники.
Существуют ли четыре вершины этих треугольников, образующие квадрат?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98117

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Многоугольники (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Анджанс А.

Можно ли разрезать плоскость на многоугольники, каждый из которых переходит в себя при повороте на ^360°/₇ вокруг некоторой точки и все стороны которых больше 1 см?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 100 101 102 103 104 105 106 >> [Всего задач: 1371]